级数：几何级数、指数与对数展开、用积分近似求和

配分函数本身就是一个级数 $\sum_ie^{-\beta E_i}$，所以级数是统计力学最基本的对象之一。正文用到本节的地方很多：几何级数（谐振子 §6.4、量子气体 §12.1）；指数函数的级数（巨配分函数 §8.4）；$(1 - x/N)^N\to e^{-x}$（§27.4）；求和换成积分（斯特林公式 §2.3、平动配分函数 §7.2、$k$ 空间求和 §10.3）；级数的收敛与 $\zeta$ 函数（§13.2、§14.1、§14.2、§15.2）；以及 $\tanh x\approx x$、$1/(e^y - 1)\approx1/y - 1/2 + y/12$ 这类截断（§6.2、§6.4）。

§A10.1收敛与发散

无穷级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 的值定义为部分和 $S_N = \sum_{n=1}^Na_n$ 在 $N\to\infty$ 时的极限；极限存在（有限）称为收敛，否则称为发散。

1. 必要条件：收敛要求 $a_n\to0$。但这不充分——调和级数 $\sum1/n$ 的项趋于零，却发散：$\frac13 + \frac14>\frac12$，$\frac15 + \cdots + \frac18>\frac12$，$\frac19 + \cdots + \frac1{16}>\frac12$……每一组都超过 $\frac12$，部分和无界。更精确地，$S_N = \ln N + \gamma + O(1/N)$，$\gamma\approx0.5772$（欧拉常数）。
2. 比较判别法：若 $0\le a_n\le b_n$ 且 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 收敛；若 $a_n\ge b_n\ge0$ 且 $\sum b_n$ 发散，则 $\sum a_n$ 发散。
3. 比值判别法：若 $\lvert a_{n+1}/a_n\rvert\to r$，则 $r<1$ 时（绝对）收敛，$r>1$ 时发散，$r = 1$ 时无法判断。理由：$r<1$ 时从某项起 $\lvert a_n\rvert$ 被一个公比小于 1 的几何级数控制。
4. 积分判别法：若 $f(x)$ 正且单调递减，$a_n = f(n)$，则

（画出高为 $f(n)$、宽为 1 的矩形：它们分别从上方、下方夹住曲线下的面积。）所以级数与积分 $\int_1^\infty f\,dx$ 同时收敛、同时发散。

$p$ 级数：由 (A10.1)，$\sum_{n\ge1}n^{-s}$ 与 $\int_1^\infty x^{-s}dx$ 同敛散。后者当 $s>1$ 时等于 $1/(s-1)$，$s\le1$ 时发散。收敛时级数的和定义为黎曼 $\zeta$ 函数：

常用数值：$\zeta(3/2)\approx2.612$，$\zeta(2) = \pi^2/6\approx1.645$，$\zeta(5/2)\approx1.341$，$\zeta(3)\approx1.202$，$\zeta(4) = \pi^4/90\approx1.0823$。§14.1 中 $\zeta(3/2)$ 有限（三维中会发生玻色–爱因斯坦凝聚），而二维对应的 $\sum z^l/l = -\ln(1-z)$ 在 $z\to1$ 时发散（二维中不凝聚），正是 $s>1$ 与 $s\le1$ 的区别。

绝对收敛与条件收敛。若 $\sum\lvert a_n\rvert$ 收敛，称为绝对收敛，这时可以任意重排、分组，和不变。若级数收敛而 $\sum\lvert a_n\rvert$ 发散（例如 $1 - \frac12 + \frac13 - \cdots = \ln2$），称为条件收敛，重排可以改变它的和（黎曼重排定理）。配分函数的各项都是正的，不会遇到这个问题；但计算离子晶体的静电能（马德隆常数）时，正负电荷的贡献交替出现，级数是条件收敛的，求和次序必须按物理要求（例如按电中性的壳层）来安排。

§A10.2几何级数

对 $\lvert r\rvert<1$：

（证明见 §6.4 的提示：$S_M - rS_M = 1 - r^{M+1}$。）几何级数在正文中至少以四种面目出现：

1. 谐振子的配分函数：$\sum_{n\ge0}e^{-\beta\hbar\omega(n+1/2)} = e^{-\beta\hbar\omega/2}/(1 - e^{-\beta\hbar\omega})$（§6.4）。
2. 有限个等间距能级：自旋 $J$ 的 $\sum_{m=-J}^Je^{my}$ 用有限和公式求出，得到布里渊函数（第6章自测题 1）。
3. 玻色子的单模巨配分函数：$\sum_{n\ge0}(ze^{-\beta\varepsilon})^n = 1/(1 - ze^{-\beta\varepsilon})$，要求 $ze^{-\beta\varepsilon}<1$，即 $\mu<\varepsilon$（§12.1）。这个收敛条件就是"玻色气体的化学势必须低于最低能级"的来源。
4. 展开 $1/(e^x\mp1)$：$\frac{1}{e^x - 1} = \frac{e^{-x}}{1 - e^{-x}} = \sum_{l=1}^\infty e^{-lx}$（$x>0$），这是 §A10.7 计算玻色积分的出发点。

对几何级数逐项求导得到 $\sum nr^n = r/(1-r)^2$ 等（见 (A7.9)）。

§A10.3幂级数与收敛半径

形如 $\sum_na_nx^n$ 的级数称为幂级数。由比值判别法，若 $\lvert a_n/a_{n+1}\rvert\to R$，则 $\lvert x\rvert<R$ 时收敛、$\lvert x\rvert>R$ 时发散；$R$ 称为收敛半径。例如 $\sum x^n/n!$：$\lvert a_n/a_{n+1}\rvert = n+1\to\infty$，$R = \infty$；$\sum x^n/n^2$：$R = 1$；$\sum n!\,x^n$：$R = 0$，除 $x = 0$ 外处处发散。

在收敛半径以内，幂级数可以逐项求导、逐项积分，结果的收敛半径不变。表 (A3.3) 中的展开式都是幂级数，可以这样相互推出：例如由 $\frac{1}{1+t} = \sum(-t)^n$ 从 0 到 $x$ 逐项积分得 $\ln(1+x) = \sum_{n\ge1}(-1)^{n+1}x^n/n$；由 $\frac{1}{1-t^2} = \sum t^{2n}$ 逐项积分得 $\operatorname{artanh}x = \sum x^{2n+1}/(2n+1)$。

收敛半径由（复平面上）最近的奇点决定。 这解释了 (A3.3) 中几个"奇怪"的收敛范围：$\tanh x$ 的展开在 $\lvert x\rvert<\pi/2$ 内收敛，因为 $\cosh x$ 在 $x = \pm i\pi/2$ 处为零；$1/(e^x - 1)$ 的展开（去掉 $1/x$ 后）在 $\lvert x\rvert<2\pi$ 内收敛，因为 $e^x = 1$ 在 $x = \pm2\pi i$ 处还有解。实轴上什么也看不出来，限制来自复平面。统计物理中，高温展开、位力展开的收敛半径同样由（复的温度或逸度平面上的）奇点决定——李政道与杨振宁 1952 年正是从这个角度研究相变的。

§A10.4指数函数与对数

指数函数的级数

对一切 $x$ 收敛。§8.4 中，经典理想气体的巨配分函数 $\Xi = \sum_Nz^Nq^N/N! = e^{zq}$ 就是 (A10.4)；同一个级数也是泊松分布的归一化（附录 C8）。

指数函数作为极限。对固定的 $x$，

证明：取对数，$N\ln(1 + x/N) = N\left(\frac xN - \frac{x^2}{2N^2} + \cdots\right) = x - \frac{x^2}{2N} + \cdots\to x$（用了 $\ln(1+u)$ 的展开，$u = x/N\to0$）。§27.4 中玻尔兹曼由"$N$ 个粒子分总能量"推出指数分布，用的正是 (A10.5) 的 $x\to-x$ 形式；附录 C8 由二项分布推出泊松分布也用它。修正项 $-x^2/(2N)$ 告诉我们收敛的快慢：只有当 $x\ll\sqrt N$ 时近似才好。

对数的作用。统计力学中的量常常是巨大的乘积（$\Omega\sim e^N$），取对数后变成和，才有广延性：$\ln(\Omega_1\Omega_2) = \ln\Omega_1 + \ln\Omega_2$。对数的展开 $\ln(1+x) = x - x^2/2 + \cdots$ 是做"小修正"时最常用的一步，例如 §7.3 低温转动配分函数 $\ln(1 + 3e^{-2\Theta_{\mathrm r}/T})\approx3e^{-2\Theta_{\mathrm r}/T}$。

§A10.5用积分近似求和

基本想法。若 $f(x)$ 在相邻整数之间变化很小，每一项 $f(n)$ 近似等于 $\int_n^{n+1}f\,dx$，于是

(A10.1) 给出了误差的上下界：对单调函数，误差不超过首末项的大小。

$k$ 空间中的版本（§10.3、§P2.2）。周期性边界条件下，边长为 $L$ 的盒子中允许的波矢为 $\mathbf k = \frac{2\pi}{L}(n_x,n_y,n_z)$，每个 $\mathbf k$ 在 $k$ 空间中"占据"体积 $(2\pi/L)^3 = (2\pi)^3/V$。若 $F(\mathbf k)$ 在 $2\pi/L$ 的尺度上变化很小，

这就是"求和换成积分"的规则 (10.5)。它是 (A10.6) 在三个方向上同时使用，再乘上每个格点所占的体积的倒数。

什么时候不能换。(A10.6) 要求被加项变化缓慢。以下情形它会失效：

• 低温下的离散能级：$k_{\mathrm B}T$ 与能级间隔可比时，只有少数几项有贡献，必须逐项求和（§7.3 的低温转动、§6.5 的爱因斯坦模型在低温下的指数行为）。
• 玻色–爱因斯坦凝聚（§14.1）：$z\to1$ 时基态一项 $1/(z^{-1} - 1)$ 变得巨大，而积分中态密度在 $\varepsilon = 0$ 处为零，完全丢掉了这一项。必须把基态单独拿出来。
• 被加项在某处有尖峰，宽度小于 1。

§A10.6欧拉–麦克劳林公式：系统的修正

(A10.6) 的误差可以系统地计算。先看一个单位区间 $[0,1]$ 上的函数 $g$。分部积分，取 $x - \frac12$ 作为 $dx$ 的原函数：

第一项就是梯形公式。对剩下的积分再分部积分一次，取 $x - \frac12$ 的原函数为 $P_2(x) = \frac{x^2 - x}{2} + \frac1{12}$（常数 $\frac1{12}$ 使 $P_2$ 在 $[0,1]$ 上的平均值为零，并且 $P_2(0) = P_2(1) = \frac1{12}$）：

把这样的关系对 $[n,n+1]$（$n = 0,1,2,\dots$）相加，设 $f$ 及其导数在无穷远处趋于零，梯形公式中内部各点各计了两次一半，端点 $f(0)$ 只计了一半，导数项相邻相消只剩 $f'(0)$。整理得欧拉–麦克劳林公式：

（继续分部积分得到更高阶的项；系数正是下面的伯努利数：$-\frac{B_2}{2!}f'$、$-\frac{B_4}{4!}f'''$……）若 $f$ 变化缓慢，$f'$、$f'''$ 一个比一个小，(A10.8) 给出逐级改进的近似。

例 1：转动配分函数的高温修正。对 (7.5)（异核分子，对一切 $J$ 求和），$f(J) = (2J+1)e^{-J(J+1)u}$，$u\equiv\Theta_{\mathrm r}/T\ll1$。积分是 $1/u$（(7.6)）；$f(0) = 1$；求导得 $f'(0) = 2 - u$，$f'''(0) = -12u + 12u^2 - u^3$。代入 (A10.8)：

数值检验：$T = 2\Theta_{\mathrm r}$ 时严格求和得 $2.3703$，(A10.9) 给出 $2.3667$；即使 $T = \Theta_{\mathrm r}$，也有 $1.4184$ 对 $1.4000$。取对数，$\ln q_{\mathrm r}\approx\ln\frac{T}{\Theta_{\mathrm r}} + \frac{\Theta_{\mathrm r}}{3T} + \frac{\Theta_{\mathrm r}^2}{90T^2}$（用 $\ln(1+u)\approx u - u^2/2$），于是 $U_{\mathrm r} = Nk_{\mathrm B}T^2\,\partial\ln q_{\mathrm r}/\partial T\approx Nk_{\mathrm B}\left(T - \frac{\Theta_{\mathrm r}}{3} - \frac{\Theta_{\mathrm r}^2}{45T}\right)$，$C_{V,\mathrm r}\approx Nk_{\mathrm B}\left[1 + \frac{1}{45}\left(\frac{\Theta_{\mathrm r}}{T}\right)^2\right]$：高温下转动热容从上方趋于均分值 $Nk_{\mathrm B}$。

例 2：平动配分函数（§7.2）。$\sum_{n=1}^\infty e^{-\gamma n^2}$：$f(x) = e^{-\gamma x^2}$ 的奇数阶导数在 0 处都为零，由 (A10.8)（并减去 $n = 0$ 的一项 $f(0) = 1$）

修正 $-\frac12$ 与主项之比约 $\sqrt\gamma\sim10^{-9}$，完全可以忽略。（它对应于态数中正比于容器表面积的一个修正。）

例 3：斯特林公式的粗略版本。$\ln N! = \sum_{k=1}^N\ln k$。用有限区间上的梯形公式：$\sum_{k=1}^N\ln k\approx\int_1^N\ln x\,dx + \frac{\ln1 + \ln N}{2} = N\ln N - N + 1 + \frac12\ln N$。与更精确的 (2.11) $N\ln N - N + \frac12\ln(2\pi N)$ 相比，$\ln N$ 项对了，常数 $1$ 与 $\frac12\ln2\pi\approx0.919$ 稍有差别。这个常数不能靠把欧拉–麦克劳林的修正项逐项加起来得到（对 $\ln k$ 而言修正级数是发散的，只是渐近级数），要用 §2.3 的拉普拉斯方法（(2.10)）另行确定。$N = 10$ 时：严格值 $15.104$，梯形近似 $15.177$，(2.11) 给出 $15.096$。

§A10.7伯努利数，$\zeta(2n)$，以及玻色、费米积分

伯努利数定义为

求法：把 $\frac{e^x - 1}{x} = 1 + \frac x2 + \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{24} + \cdots$ 与待定级数 $1 + c_1x + c_2x^2 + \cdots$ 相乘，令乘积等于 1，逐阶解出：$c_1 + \frac12 = 0$；$c_2 + \frac{c_1}{2} + \frac16 = 0$；……得 $B_0 = 1$，$B_1 = -\frac12$，$B_2 = \frac16$，$B_4 = -\frac1{30}$，$B_6 = \frac1{42}$。除 $B_1$ 外奇数阶的 $B_n$ 都是零，因为 $\frac{x}{e^x - 1} + \frac x2 = \frac x2\coth\frac x2$ 是偶函数。(A3.3) 中 $\frac{1}{e^x - 1} = \frac1x - \frac12 + \frac{x}{12} - \cdots$ 就是 (A10.10) 除以 $x$。

一个一致性检验：把 (A10.8) 用于 $f(n) = e^{-nx}$，左边是几何级数 $\frac{1}{1 - e^{-x}}$，右边是 $\frac1x + \frac12 + \frac{x}{12} - \frac{x^3}{720} + \cdots$——与 (A10.10) 完全一致（$\frac{1}{1 - e^{-x}} = 1 + \frac{1}{e^x - 1}$）。

$\zeta$ 函数在偶数处的值：

$\zeta(2)$、$\zeta(4)$ 的初等证明见附录 A14（傅里叶级数）。奇数处的值（$\zeta(3)$ 等）至今没有已知的类似闭合形式。

玻色积分与费米积分。对 $s>1$，把 $\frac{1}{e^x - 1} = \sum_{l\ge1}e^{-lx}$ 代入，逐项积分（各项为正，可以交换求和与积分），再用 (2.8)：

这就是 (12.6)、(12.7) 中 $b_\nu(1) = \zeta(\nu)$ 的来历。同样，$\frac{1}{e^x + 1} = \sum_{l\ge1}(-1)^{l+1}e^{-lx}$ 给出

（$\sum(-1)^{l+1}l^{-s} = \zeta(s) - 2\sum_{l\,\text{偶}}l^{-s} = (1 - 2^{1-s})\zeta(s)$。）常用的几个值：

交换求和与积分的条件：若各项都非负，交换总是允许的（单调收敛定理）；若各项有正有负，只要 $\sum_l\int\lvert\text{第 }l\text{ 项}\rvert<\infty$ 即可。(A10.13) 属于后一种情况。

§A10.8有限和

两个偶尔用到的公式：

第二式的证明：把 $(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1$ 从 $k = 1$ 加到 $n$，左边"错位相消"成 $(n+1)^3 - 1$，再代入第一式解出 $\sum k^2$。这种"错位相消"（望远镜求和）的技巧也给出 $\sum_{l\ge1}\frac{1}{l(l+1)} = \sum_{l\ge1}\left(\frac1l - \frac{1}{l+1}\right) = 1$。

自测题

1. 证明 $\int_0^\infty\frac{x^3\,dx}{e^x - 1} = \frac{\pi^4}{15}$。［提示：(A10.12) 与 $\Gamma(4) = 6$、$\zeta(4) = \pi^4/90$。］
2. 证明 $\int_0^\infty\frac{x\,dx}{e^x + 1} = \frac{\pi^2}{12}$。
3. 用 (A10.8) 证明 $\sum_{n=0}^\infty e^{-nx} = \frac1x + \frac12 + \frac x{12} + O(x^3)$，并与严格结果 $\frac{1}{1 - e^{-x}}$ 的展开比较。
4. 求下列幂级数的收敛半径：$\sum x^n/n^2$；$\sum x^n/n!$；$\sum 2^nx^n$。［答：$1$；$\infty$；$\frac12$。］
5. 由 $(1 + x/N)^N$ 的对数展开说明：要使 $(1 + x/N)^N$ 与 $e^x$ 的相对误差小于 1%，大约需要 $N>50x^2$。［提示：相对误差约为 $x^2/(2N)$。］
6. 二维理想玻色气体中 $N/A\propto b_1(z) = -\ln(1-z)$。说明为什么任何有限的面密度都可以由某个 $z<1$ 达到，因而二维中没有玻色–爱因斯坦凝聚。