傅里叶级数、傅里叶变换与 δ 函数

傅里叶分析的核心思想是：把一个函数分解成许多平面波（或简谐振动）的叠加。对线性、平移不变的系统，各个平面波分量互不干扰，每个分量的问题都变成代数问题。正文用到本节的地方：线性响应与频率分量（§P1.4、§P3.6、第24章）；费米黄金规则中的 δ 函数（§P2.7）；晶格振动与周期势（§10.4、§10.7、§11.4）；$\zeta(2)$、$\zeta(4)$（§13.2、§15.2）；奥恩斯坦–泽尼克关联函数（§19.4）；功率谱（§22.5）；克拉默斯–克勒尼希关系（§24.1）。

§A14.1傅里叶级数

设 $f(x)$ 以 $2\pi$ 为周期（或只在 $[-\pi,\pi]$ 上给定）。我们希望把它写成

系数由正交性确定。对整数 $n,m$，

（$n\ne m$ 时被积函数绕单位圆转了整数圈，积分为零；$n = m$ 时被积函数为 1。）把 (A14.1) 两边乘以 $e^{-imx}$ 再积分，右边只剩 $n = m$ 一项：

这与"在正交基下求向量的分量"完全相同：$e^{inx}$ 是函数空间中一组正交的"基向量"，$c_n$ 是 $f$ 在各基向量上的投影（附录 B4）。

几点说明：

1. 实函数满足 $c_{-n} = c_n^\ast$。把 $\pm n$ 两项合并，得实数形式 $f = \frac{a_0}{2} + \sum_{n\ge1}(a_n\cos nx + b_n\sin nx)$，$a_n = \frac1\pi\int f\cos nx\,dx$，$b_n = \frac1\pi\int f\sin nx\,dx$。偶函数只有余弦项，奇函数只有正弦项。
2. 周期为 $L$ 时，把 $e^{inx}$ 换成 $e^{i2\pi nx/L}$，系数公式中的 $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi$ 换成 $\frac1L\int_0^L$。§11.4 中晶格周期势 $U(x) = \sum_GU_Ge^{iGx}$（$G = 2\pi m/a$）就是这种展开；三维中 $G$ 换成倒格矢。
3. 收敛：对物理中常见的分段光滑函数，级数在 $f$ 连续的点收敛到 $f(x)$，在跳跃点收敛到左右极限的平均值。在跳跃点附近，部分和总有约 9% 的过冲（吉布斯现象），这是用光滑的正弦波去拟合台阶的必然代价。
4. 指数中的正负号是约定。正文对时间的展开写成 $\sum c_ne^{-in\omega t}$（与 $e^{-i\omega t}$ 的约定一致，附录 A13），对空间写成 $e^{iGx}$。

§A14.2例：$x^2$ 的傅里叶级数，$\zeta(2)$ 与 $\zeta(4)$

在 $[-\pi,\pi]$ 上展开 $f(x) = x^2$（偶函数，只有余弦项）。$a_0 = \frac1\pi\int_{-\pi}^\pi x^2dx = \frac{2\pi^2}{3}$。对 $n\ge1$，分部积分两次：

所以 $a_n = 4(-1)^n/n^2$，

• 令 $x = \pi$（$\cos n\pi = (-1)^n$）：$\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum\frac1{n^2}$，所以 $\zeta(2) = \sum_{n\ge1}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$（巴塞尔问题，欧拉 1734）。
• 令 $x = 0$：$0 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$，所以 $\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$。这正是索末菲展开中的 $\int_0^\infty\frac{x\,dx}{e^x + 1} = \frac{\pi^2}{12}$（由 (A10.13)）。

帕塞瓦尔恒等式。把 (A14.1) 与它的共轭相乘再积分，由 (A14.2) 交叉项全部消失：

"函数的平方积分等于各分量的平方和"——这是无穷维空间中的勾股定理。用于 $x^2$：左边为 $\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2\pi^5}{5} = \frac{\pi^4}{5}$；右边 $c_0 = \frac{\pi^2}{3}$，$c_{\pm n} = \frac{a_n}{2} = \frac{2(-1)^n}{n^2}$，和为 $\frac{\pi^4}{9} + 2\sum_{n\ge1}\frac{4}{n^4}$。于是 $8\zeta(4) = \frac{\pi^4}{5} - \frac{\pi^4}{9} = \frac{4\pi^4}{45}$，

这就是斯特藩–玻尔兹曼定律 (15.3) 中积分 $\int_0^\infty\frac{x^3dx}{e^x - 1} = \Gamma(4)\zeta(4) = \frac{\pi^4}{15}$ 的来源（(A10.12)，§15.2）。

§A14.3傅里叶变换

从级数到积分。对非周期函数，可以把它看成周期 $L\to\infty$ 的极限。周期为 $L$ 时，波数取 $k_n = 2\pi n/L$，相邻间隔 $\Delta k = 2\pi/L$；$f(x) = \sum_nc_ne^{ik_nx}$，$c_n = \frac1L\int f(x)e^{-ik_nx}dx$。定义 $\hat f(k) = Lc_n = \int f(x)e^{-ikx}dx$，则 $f(x) = \sum_n\frac{\Delta k}{2\pi}\hat f(k_n)e^{ik_nx}$。$L\to\infty$ 时求和变成积分（附录 A10 的 (A10.6)）：

本讲义的约定：空间用 (A14.6)；三维时 $\hat f(\mathbf k) = \int f(\mathbf r)e^{-i\mathbf k\cdot\mathbf r}d^3r$，$f(\mathbf r) = \int\hat f(\mathbf k)e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}\frac{d^3k}{(2\pi)^3}$（与 $k$ 空间求和规则 (A10.7) 一致）。时间用相反的符号：

这样平面波 $e^{i(kx - \omega t)}$ 对应正的 $k$ 与 $\omega$。$2\pi$ 放在哪里、指数取什么符号，不同的书约定不同，使用公式前要先看清约定。

基本性质（以空间约定为例；时间约定中把 $ik$ 换成 $-i\omega$）：

1. 导数变成乘法：$\widehat{f'}(k) = ik\hat f(k)$（分部积分，边界项为零）；三维中 $\nabla\to i\mathbf k$，$\nabla^2\to-k^2$。时间中 $d/dt\to-i\omega$。微分方程因此变成代数方程。
2. 乘以 $x$ 变成求导：$\widehat{xf}(k) = i\,d\hat f/dk$（对 $\hat f$ 的定义式关于 $k$ 求导，附录 A7）。
3. 平移：$f(x - a)\to e^{-ika}\hat f(k)$；伸缩：$f(ax)\to\hat f(k/a)/\lvert a\rvert$。
4. 实函数：$\hat f(-k) = \hat f(k)^\ast$；实的偶函数的变换是实的偶函数。
5. 卷积定理：定义卷积 $(f\ast g)(x) = \int f(x - y)g(y)\,dy$，则

证明：$\int dx\,e^{-ikx}\int dy\,f(x-y)g(y) = \int dy\,g(y)e^{-iky}\int dx\,f(x - y)e^{-ik(x-y)} = \hat g(k)\hat f(k)$（交换积分次序，内层令 $x' = x - y$）。反过来，乘积的变换是卷积（除以 $2\pi$）：$\widehat{fg} = \frac{1}{2\pi}\hat f\ast\hat g$（证明需要 §A14.5 的 (A14.12)）。

为什么卷积重要：线性、平移不变的系统，输出与输入的关系一定是卷积。例如线性响应 (24.2) $\langle\delta B(t)\rangle = \int\chi(t - t')f(t')dt'$。由 (A14.8)，频域中它就是乘法 $\delta\hat B(\omega) = \chi(\omega)\hat f(\omega)$——每个频率独立地响应，这正是 §P1.4 所说的"线性系统对各个频率分量的响应彼此独立"。

§A14.4几个重要的变换

(a) 高斯函数的变换仍是高斯函数：

推导（微分方程法）：$f' = -xf/\sigma^2$。两边作变换，用性质 1、2：$ik\hat f = -\frac{1}{\sigma^2}\cdot i\frac{d\hat f}{dk}$，即 $d\hat f/dk = -\sigma^2k\hat f$，所以 $\hat f(k) = \hat f(0)e^{-\sigma^2k^2/2}$，而 $\hat f(0) = \int f\,dx = \sqrt{2\pi\sigma^2}$（由 (2.3)）。也可以在 (A7.5) 中令 $b = -ik$ 直接得到。宽度互为倒数：$x$ 空间的宽度 $\sigma$ 对应 $k$ 空间的宽度 $1/\sigma$。越窄的函数需要越宽的频谱来合成——这是不确定关系的数学根源。

(b) 指数衰减与洛伦兹线形（时间约定）。单边指数 $\theta(t)e^{-\gamma t}$（$\theta$ 为阶跃函数）：

第一个是弛豫方程 $\dot x = -\gamma x + f$ 的响应函数（附录 A13 的格林函数），第二个就是 (22.16) 的洛伦兹谱。指数衰减的时间函数 ↔ 洛伦兹型的频谱，衰减越快谱越宽：洛伦兹谱的半高半宽恰好等于时间函数的衰减速率 $\gamma$（半高全宽为 $2\gamma$）。§P1.4 中振幅按 $e^{-\gamma t/2}$ 衰减，所以那里的洛伦兹线形半高全宽为 $\gamma$。

(c) 三维的球对称函数。若 $f$ 只依赖于 $r$，用球坐标（$\mathbf k$ 取为极轴）先做角度积分：$\int e^{-ikr\cos\theta}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi = 2\pi\int_{-1}^1e^{-ikru}du = \frac{4\pi\sin kr}{kr}$，于是

例：奥恩斯坦–泽尼克形式。$f = \frac{e^{-r/\xi}}{4\pi r}$：$\hat f = \frac1k\int_0^\infty e^{-r/\xi}\sin kr\,dr = \frac1k\cdot\frac{k}{k^2 + \xi^{-2}} = \frac{1}{k^2 + \xi^{-2}}$（最后的积分可以用 $\sin kr = \mathrm{Im}\,e^{ikr}$ 计算）。另一条路：对 $(-\nabla^2 + \xi^{-2})f = \delta^3(\mathbf r)$（附录 A11）两边作变换，$\nabla^2\to-k^2$，$\delta^3\to1$，立即得到 $(k^2 + \xi^{-2})\hat f = 1$。这就是 §19.4 中 (19.16) 的来历：在 $k$ 空间中，关联函数是一个简单的分式；$\xi\to\infty$ 时 $\hat G\propto1/k^2$，对应于实空间中的 $1/r$。

§A14.5δ 函数

定义。δ 函数是"宽度趋于零、面积为 1 的尖峰"的极限，由它在积分中的作用定义：对任何连续函数 $f$，

它不是普通的函数（$x_0$ 处"无穷大"，其余处为零），而是一列函数的极限。任何面积为 1、宽度趋于零的函数序列都可以作为它的表示，例如（$\epsilon\to0^+$，$L\to\infty$）：

前两个的面积为 1 是 (2.3) 与 $\int\frac{dx}{1+x^2} = \pi$。第三个的面积由狄利克雷积分 (A7.8) 得到：$\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin Lx}{x}dx = \pi$（$L>0$）。第四个就是 §P2.7 费米黄金规则中的函数：令 $u = xt/2$，它的面积为 $\frac{1}{2\pi t}\cdot2t\int\frac{\sin^2u}{u^2}du$，而分部积分（取 $-1/u$ 为 $du/u^2$ 的原函数）给出 $\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin^2u}{u^2}du = \int_{-\infty}^\infty\frac{2\sin u\cos u}{u}du = \int_{-\infty}^\infty\frac{\sin2u}{u}du = \pi$，所以面积为 1。宽度约 $2\pi/t$，随 $t$ 增大而趋于零。因此 $\frac{4\sin^2(\omega t/2)}{\omega^2}\to2\pi t\,\delta(\omega)$。

最重要的表示。$\int_{-L}^Le^{ikx}dk = \frac{2\sin Lx}{x}$，由上面第三个表示，$L\to\infty$ 时它趋于 $2\pi\delta(x)$：

它是连续版本的正交关系 (A14.2)，并立即证明了反演公式 (A14.6)：$\int\hat f(k)e^{ikx}\frac{dk}{2\pi} = \int dy\,f(y)\int e^{ik(x-y)}\frac{dk}{2\pi} = \int f(y)\delta(x - y)\,dy = f(x)$。同理得到连续形式的帕塞瓦尔（普朗歇尔）恒等式

以及"乘积的变换是卷积"。§22.5 中 $\langle\delta A^2\rangle = C_A(0) = \int S_A(\omega)\frac{d\omega}{2\pi}$ 就是反演公式在 $t = 0$ 处的值。δ 函数的变换是常数 1：白噪声 $C(t) = \Gamma\delta(t)$ 的谱是常数 $\Gamma$。

运算规则：

1. $\delta(ax) = \delta(x)/\lvert a\rvert$（换元 $y = ax$；$a<0$ 时积分限反转，故取绝对值）。$\delta(\omega) = \hbar\,\delta(\hbar\omega) = \hbar\,\delta(E)$ 就是这样得到的（(P2.17)）。
2. 若 $g(x)$ 有单根 $x_i$（$g(x_i) = 0$，$g'(x_i)\ne0$），则

（在每个根附近 $g(x)\approx g'(x_i)(x - x_i)$，再用规则 1。） 3. $x\,\delta(x) = 0$；$f(x)\delta(x - a) = f(a)\delta(x - a)$。 4. 阶跃函数的导数：$\theta'(x) = \delta(x)$，因为 $\theta(x) = \int_{-\infty}^x\delta(y)\,dy$。δ 函数的导数由分部积分定义：$\int f\,\delta'(x)\,dx = -f'(0)$。 5. 三维：$\delta^3(\mathbf r) = \delta(x)\delta(y)\delta(z)$。(A11.11) 说 $\nabla^2\frac{1}{4\pi r} = -\delta^3(\mathbf r)$。

用 δ 函数数态：态密度。把能级 $\varepsilon_i$ 的态密度写成 $g(\varepsilon) = \sum_i\delta(\varepsilon - \varepsilon_i)$，则 $\int_a^bg\,d\varepsilon$ 正好是 $[a,b]$ 内的态数，而任何 $\sum_iF(\varepsilon_i) = \int g(\varepsilon)F(\varepsilon)\,d\varepsilon$。§10.7 的声子态密度 $g(\omega) = \sum_{\mathbf k,s}\delta(\omega - \omega_s(\mathbf k))$ 就是这样定义的。例：三维自由粒子（每个自旋方向），由 (A10.7)

（用了 (A14.14)：根 $k_0 = \sqrt{2m\varepsilon}/\hbar$，$\lvert d(\hbar^2k^2/2m)/dk\rvert = \hbar^2k_0/m$。）同样的规则把概率密度的变换写成 $p_Y(y) = \int\delta(y - g(x))\,p_X(x)\,dx$（附录 C7）。

§A14.6阶跃函数的变换与主值

§24.1 推导克拉默斯–克勒尼希关系时用到阶跃函数的傅里叶变换。$\theta(t)$ 本身不可积，乘一个收敛因子 $e^{-\epsilon t}$ 后再令 $\epsilon\to0^+$：

• 实部是面积为 $\pi$ 的洛伦兹峰，趋于 $\pi\delta(\nu)$。
• 虚部在 $\lvert\nu\rvert\gg\epsilon$ 处就是 $1/\nu$，只在 $\nu = 0$ 附近被"抹平"。它对任一光滑函数 $f$ 的积分为 $\int f(\nu)\frac{\nu}{\nu^2 + \epsilon^2}d\nu = \int[f(\nu) - f(0)]\frac{\nu}{\nu^2 + \epsilon^2}d\nu$（减去的一项是奇函数的积分，为零），$\epsilon\to0$ 时趋于 $\int\frac{f(\nu) - f(0)}{\nu}d\nu$，这正是柯西主值 $\mathrm P\!\int\frac{f(\nu)}{\nu}d\nu\equiv\lim_{\eta\to0}\left(\int_{-\infty}^{-\eta} + \int_\eta^\infty\right)\frac{f(\nu)}{\nu}d\nu$。

所以 $\hat\theta(\nu) = \pi\delta(\nu) + i\,\mathrm P\frac1\nu$。等价的常用写法是索霍茨基–普莱梅利公式：

物理中它到处出现：响应函数的实部（色散）与虚部（吸收）、散射振幅、格林函数，都是"主值部分 + δ 函数部分"的结构；δ 函数部分代表真实的跃迁（能量守恒），主值部分代表能级的移动。

§A14.7小结：傅里叶方法解线性问题的三步

1. 作变换：导数 → 乘以 $ik$（或 $-i\omega$），卷积 → 乘积，δ 函数 → 常数。
2. 在 $k$（或 $\omega$）空间中解代数方程。例：$m(\ddot x + \gamma\dot x + \omega_0^2x) = F(t)$ 变为 $m(\omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega)\hat x = \hat F$，$\hat x = \chi(\omega)\hat F$（(P1.12)）；$(-\nabla^2 + \xi^{-2})m = h/2g$ 变为 $\hat m = \hat h/[2g(k^2 + \xi^{-2})]$（(19.16)）；扩散方程见附录 A15。
3. 变换回来。由卷积定理，结果总是"输入与某个核函数（格林函数、响应函数）的卷积"。

自测题

1. 把 $f(x) = x$ 在 $(-\pi,\pi)$ 上展开成傅里叶级数，并在 $x = \pi/2$ 处取值。［答：$x = 2\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx$；得 $\frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \cdots$。］
2. 求 $e^{-a\lvert x\rvert}$ 的傅里叶变换。［答：$\frac{2a}{a^2 + k^2}$。］
3. 证明 $\delta(x^2 - a^2) = \frac{\delta(x - a) + \delta(x + a)}{2\lvert a\rvert}$。
4. 对 $e^{-\lvert t\rvert}$ 用 (A14.13)，求 $\int_{-\infty}^\infty\frac{d\omega}{(1+\omega^2)^2}$。［答：左边 $\int e^{-2\lvert t\rvert}dt = 1$，右边 $\int\frac{4}{(1+\omega^2)^2}\frac{d\omega}{2\pi}$，故积分为 $\pi/2$。］
5. 求三维高斯函数 $e^{-r^2/2\sigma^2}$ 的傅里叶变换。［答：$(2\pi\sigma^2)^{3/2}e^{-\sigma^2k^2/2}$，三个方向各一个 (A14.9)。］
6. 一维格点上的函数 $u_n$（$n = 0,\dots,N-1$，周期性）的离散傅里叶变换为 $\hat u_m = \sum_nu_ne^{-2\pi imn/N}$。用 (A13.3) 证明反变换 $u_n = \frac1N\sum_m\hat u_me^{2\pi imn/N}$。