随机变量与概率分布（离散与连续）

本节只作简要回顾。统计力学从第2章起就用概率语言描述系统：微观态的概率、能量的分布、速度的分布……

§C1.1概率的基本规则

一个随机试验所有可能结果的集合称为样本空间，其中的子集称为事件。概率 $P$ 满足：(1) $0\le P(A)\le1$；(2) 必然事件的概率为 1；(3) 互斥事件（不能同时发生）的概率可以相加：$P(A\text{ 或 }B) = P(A) + P(B)$。由此推出：$P(\text{非 }A) = 1 - P(A)$；一般情形下 $P(A\text{ 或 }B) = P(A) + P(B) - P(A\text{ 且 }B)$（重叠部分不能算两次）。

概率有两种常见的理解：大量重复试验中的频率，或者在已有信息下对可能性的合理信念。统计力学两者都用：系综（§2.7）是"大量假想副本中的频率"；最大熵原理（§4.6）是"在只知道平均能量时的最合理推断"。

§C1.2离散随机变量

随机变量 $X$ 取值 $x_1,x_2,\dots$，相应的概率 $p_k = P(X = x_k)$ 满足 $p_k\ge0$、$\sum_kp_k = 1$。例：均匀的骰子 $p_k = 1/6$；§2.2 中自旋朝上的指示变量 $x_i\in\lbrace0,1\rbrace$，各以 1/2 的概率出现；正则系综中系统处于微观态 $i$ 的概率 $P_i = e^{-\beta E_i}/Z$。

§C1.3连续随机变量与概率密度

连续变量（位置、速度、能量）取任何一个确定值的概率都是零，有意义的是落在一个区间内的概率：

$p(x)$ 称为概率密度：$p(x)\,dx$ 是 $X$ 落在 $[x,x+dx]$ 中的概率。几点注意：

1. $p(x)$ 有量纲（$x$ 的量纲的倒数），它本身不是概率，可以大于 1；只有 $p(x)\,dx$ 才是概率。
2. 累积分布函数 $F(x) = P(X\le x) = \int_{-\infty}^xp(x')\,dx'$ 从 0 单调增加到 1，$p(x) = F'(x)$。
3. 换一个变量描述时，概率密度要乘以雅可比因子（附录 C7）。例如麦克斯韦速度分布 $f(\mathbf v)$ 与速率分布 $F(v)$ 相差因子 $4\pi v^2$（§5.4）。

常见的例子：$[a,b]$ 上的均匀分布 $p = 1/(b-a)$；指数分布 $p(x) = \lambda e^{-\lambda x}$（$x\ge0$），描述"每单位时间以固定速率 $\lambda$ 发生的事件"的等待时间（附录 C8）；高斯分布（附录 C5）。

用 δ 函数统一两种情形。离散分布可以写成概率密度 $p(x) = \sum_kp_k\,\delta(x - x_k)$（附录 A14），于是下面所有关于连续分布的公式（平均值、方差……）都自动包含离散情形。

自测题

1. 指数分布 $p(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ 的中位数（$F(x) = 1/2$ 的 $x$）是多少？［答：$\ln2/\lambda$。］
2. 两枚均匀的骰子点数之和为 7 的概率是多少？［答：$6/36 = 1/6$。］