行列式与线性变换的体积因子

正文用到行列式的地方：变量替换的雅可比行列式（§2.3、§5.4，附录 A6）；原胞体积 $\mathbf a_1\cdot(\mathbf a_2\times\mathbf a_3)$（§10.1）；"有非零解要求系数行列式为零"（§10.5、§11.4）；斯莱特行列式与泡利原理（§P2.6）；多元高斯积分中的 $\det A$（附录 B2）。

§B3.1定义与计算

$3\times3$ 行列式按第一行展开：

每一项是"该元素 × 划去它所在的行与列后剩下的 $2\times2$ 行列式（余子式）"，符号按 $+,-,+$ 交替（位置 $(i,j)$ 的符号为 $(-1)^{i+j}$）。$n\times n$ 行列式同样可以按任一行（或列）展开，递归地化为低阶行列式。等价的定义是

求和遍及 $1,\dots,n$ 的所有排列 $\sigma$（共 $n!$ 项），$\mathrm{sgn}(\sigma) = \pm1$ 由排列是偶数次还是奇数次对换得到而定：每一项从每行、每列各取一个元素。比较 (B3.1) 与 (B1.1) 可知，$3\times3$ 行列式就是三行的混合积 $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)$。

§B3.2几何意义：体积因子

二维：以 $(a,c)$、$(b,d)$ 为边的平行四边形面积是 $\lvert ad - bc\rvert$。（推导：面积 $= \lvert\mathbf u\rvert\lvert\mathbf v\rvert\sin\theta$，而 $\lvert\mathbf u\rvert^2\lvert\mathbf v\rvert^2\sin^2\theta = \lvert\mathbf u\rvert^2\lvert\mathbf v\rvert^2 - (\mathbf u\cdot\mathbf v)^2 = (a^2 + c^2)(b^2 + d^2) - (ab + cd)^2 = (ad - bc)^2$。）三维：混合积是平行六面体的有向体积。一般地：

$\lvert\det A\rvert$ 等于由 $A$ 的各列（或各行）张成的平行多面体的体积；线性变换 $\mathbf x\to A\mathbf x$ 把任何区域的体积放大 $\lvert\det A\rvert$ 倍。 符号表示变换是否改变了"手性"（左右手是否互换）。

这就是变量替换中雅可比行列式的来源（附录 A6）：在每一点附近，非线性的变换近似为线性变换，它把小体积元放大 $\lvert\det J\rvert$ 倍。

§B3.3基本性质

下列性质都可以从"有向体积"的图像理解：

1. 交换两行，行列式变号（手性反转）。
2. 两行相同，行列式为零（平行多面体被压扁，体积为零）。更一般地，各行线性相关 ⟺ $\det A = 0$。
3. 对每一行是线性的：某一行乘以 $c$，行列式乘以 $c$；某一行是两个向量之和，行列式是两个行列式之和。
4. 把一行的倍数加到另一行上，行列式不变（"剪切"不改变体积）。这是用消元法计算行列式的依据：化成三角矩阵后，行列式等于对角元之积。
5. $\det(AB) = \det A\,\det B$（先放大 $\lvert\det B\rvert$ 倍再放大 $\lvert\det A\rvert$ 倍）。由此 $\det A^{-1} = 1/\det A$，并且雅可比行列式满足链式法则（§A4.6）。
6. $\det A^{\mathsf T} = \det A$：对行成立的性质对列也成立。
7. 正交矩阵：由 $O^{\mathsf T}O = I$ 与性质 5、6，$(\det O)^2 = 1$，$\det O = \pm1$——转动不改变体积（$+1$），反射改变手性（$-1$）。所以正交变换的雅可比因子为 1（(B2.7) 的证明用到这一点）。
8. 行列式等于本征值之积：对实对称矩阵，$\det A = \det(O\Lambda O^{\mathsf T}) = \det O\,\det\Lambda\,\det O^{\mathsf T} = \prod_a\lambda_a$。（对一般矩阵也成立：$\det(A - \lambda I)$ 是 $\prod_a(\lambda_a - \lambda)$，令 $\lambda = 0$。）几何上：沿各本征方向分别伸缩 $\lambda_a$ 倍，体积伸缩 $\prod\lambda_a$ 倍。

§B3.4线性方程组

对 $n$ 个未知数、$n$ 个方程的线性方程组 $A\mathbf x = \mathbf b$：

• 若 $\det A\ne0$，解唯一存在，$\mathbf x = A^{-1}\mathbf b$。$2\times2$ 时 $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$。
• 齐次方程组 $A\mathbf x = 0$ 有非零解 ⟺ $\det A = 0$。理由：$\det A = 0$ 意味着 $A$ 把 $n$ 维空间压扁到更低维，必然有非零向量被压成零向量；反之，若有 $\mathbf x\ne0$ 使 $A\mathbf x = 0$，则 $A$ 的各列线性相关，由性质 2，$\det A = 0$。

这一条是求本征值 (B2.2) 与求简正频率的依据。§10.5 中双原子链的振幅 $(A,B)$ 满足齐次方程组，"有非零解"要求系数行列式为零，

由此得到 (10.8)。（为什么 $\omega^2$ 一定是实数？作质量加权 $A = A'/\sqrt{M_1}$、$B = B'/\sqrt{M_2}$ 后，方程组变成 $\omega^2$ 乘以 $(A',B')$ 等于矩阵 $\begin{pmatrix}2K/M_1 & -K(1 + e^{-ika})/\sqrt{M_1M_2}\\ -K(1 + e^{ika})/\sqrt{M_1M_2} & 2K/M_2\end{pmatrix}$ 乘以 $(A',B')$。这个矩阵是厄米的——转置后取共轭等于自身——所以 $\omega^2$ 作为它的本征值必为实数，见附录 B4。）

§B3.5斯莱特行列式与泡利原理

§P2.6 中 $N$ 个费米子的反对称波函数写成

交换两个粒子的坐标 = 交换两列，由性质 1，$\Psi$ 变号——这正是费米子要求的反对称性。若两个粒子处于同一单粒子态（$a_i = a_j$），则有两行相同，由性质 2，$\Psi\equiv0$——泡利不相容原理是行列式性质的直接推论。$N = 2$ 时 $\Psi = \frac{1}{\sqrt2}[\phi_a(x_1)\phi_b(x_2) - \phi_a(x_2)\phi_b(x_1)]$。

§B3.6$\ln\det A = \mathrm{Tr}\ln A$

对正定的实对称矩阵，由性质 8 与 (B2.10)：

用处：(B2.7) 给出 $\ln\int e^{-\frac12\mathbf x^{\mathsf T}A\mathbf x}d^nx = \frac n2\ln2\pi - \frac12\mathrm{Tr}\ln A$。经典谐振子系统的配分函数正是这种高斯积分，所以它的自由能是各简正模贡献之和 $k_{\mathrm B}T\sum_a\ln(\beta\hbar\omega_a)$：本征值把"耦合系统的行列式"变成了"独立模式的求和"。再对 (B3.4) 求微分，得雅可比公式 $d\ln\det A = \mathrm{Tr}(A^{-1}dA)$，它是"对二次型的系数求导得到关联函数"的矩阵版本。

自测题

1. 计算 $\det\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&3\\4&0&1\end{pmatrix}$。［答：$25$。］
2. 体心立方的原胞基矢为 $\frac a2(-1,1,1)$、$\frac a2(1,-1,1)$、$\frac a2(1,1,-1)$。求原胞体积，并说明为什么是 $a^3$ 的一半。［答：$a^3/2$；立方晶胞中含 2 个格点。］
3. 证明：若 $A\mathbf x = 0$ 有非零解，则 $A$ 的某个本征值为零。
4. 写出 $N = 2$、单粒子态 $a$、$b$ 的斯莱特行列式，验证它在交换 $x_1\leftrightarrow x_2$ 时变号，并在 $a = b$ 时为零。
5. 对实对称矩阵 $A$，证明 $\det e^A = e^{\mathrm{Tr}\,A}$。［提示：两边都等于 $\prod_ae^{\lambda_a}$。］