格物致知
数学基础 · 附录 C 概率与统计要点 · C8

泊松分布

The Poisson Distribution
已完成速查更新于 2026.10.08统计物理讲义 v1.0

泊松分布描述"大量独立的、各自发生概率很小的事件"的计数。正文用到它的地方：巨正则系综中经典理想气体的粒子数分布（§8.4）；阿夫拉米方程中覆盖某点的晶粒数（§31.7）。它也隐藏在德鲁德模型的碰撞（§11.1）、放射性衰变计数、光子计数等许多地方。

§C8.1作为二项分布的极限

二项分布 (C4.5) 中令 N→∞N\to\infty、p→0p\to0，而保持 Np=λNp = \lambda 不变：

P(n)=N(N−1)⋯(N−n+1)n!(λN)n(1−λN)N−n=λnn!⋅N(N−1)⋯(N−n+1)Nn⏟→1⋅(1−λN)N⏟→e−λ⋅(1−λN)−n⏟→1P(n) = \frac{N(N-1)\cdots(N - n + 1)}{n!}\left(\frac\lambda N\right)^n\left(1 - \frac\lambda N\right)^{N-n} = \frac{\lambda^n}{n!}\cdot\underbrace{\frac{N(N-1)\cdots(N-n+1)}{N^n}}_{\to1}\cdot\underbrace{\left(1 - \frac\lambda N\right)^{N}}_{\to e^{-\lambda}}\cdot\underbrace{\left(1 - \frac\lambda N\right)^{-n}}_{\to1}

（中间一项用了 (A10.5)。）于是

P(n)=λne−λn!,n=0,1,2,…(C8.1)P(n) = \frac{\lambda^ne^{-\lambda}}{n!},\qquad n = 0,1,2,\dots \tag{C8.1}

例：体积 VV 中有 NN 个独立分子，子体积 v≪Vv\ll V 中的分子数服从 p=v/Vp = v/V 的二项分布；在 N,V→∞N,V\to\infty、密度 n=N/Vn = N/V 固定时，它趋于均值 λ=nv\lambda = nv 的泊松分布。§8.4 用巨正则系综直接得到了同样的结果，而且对任意大小的 vv 都严格成立（巨正则系综相当于子体积与一个无穷大的粒子源接触）。

泊松分布 (C8.1)二项分布，p=λ/Np = \lambda/N
P(n)P(n)
nn
二项分布的方差 λ(1−p)\text{二项分布的方差 }\lambda(1 - p)
—
p=λ/Np = \lambda/N
—
max⁡n∣ΔP(n)∣\max_n\lvert\Delta P(n)\rvert
—
图 C8.1保持 λ=Np\lambda = Np 不变而增大 NN，二项分布趋于泊松分布，两者之差大致按 1/N1/N 减小。泊松分布的方差等于均值 λ\lambda；二项分布的方差是 λ(1−p)\lambda(1-p)，略小一些。NN 小于 λ\lambda 时自动取 N=⌈λ⌉+1N = \lceil\lambda\rceil + 1。

§C8.2基本性质

归一化：∑nλn/n!=eλ\sum_n\lambda^n/n! = e^\lambda（(A10.4)）。生成函数：

G(s)=⟨sn⟩=∑n(λs)ne−λn!=eλ(s−1)(C8.2)G(s) = \langle s^n\rangle = \sum_n\frac{(\lambda s)^ne^{-\lambda}}{n!} = e^{\lambda(s-1)} \tag{C8.2}

G′(1)=λ=⟨n⟩G'(1) = \lambda = \langle n\rangle，G′′(1)=λ2=⟨n(n−1)⟩G''(1) = \lambda^2 = \langle n(n-1)\rangle，所以 Var(n)=λ2+λ−λ2=λ\mathrm{Var}(n) = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda：方差等于均值，相对涨落为 1/λ1/\sqrt\lambda。累积量生成函数 K(s)=ln⁡⟨esn⟩=λ(es−1)K(s) = \ln\langle e^{sn}\rangle = \lambda(e^s - 1)，所以所有阶的累积量都等于 λ\lambda。

可加性：独立的泊松变量之和仍是泊松变量，均值相加（生成函数相乘：eλ1(s−1)eλ2(s−1)=e(λ1+λ2)(s−1)e^{\lambda_1(s-1)}e^{\lambda_2(s-1)} = e^{(\lambda_1+\lambda_2)(s-1)}）。

高斯极限：λ\lambda 很大时，nn 可以看成 λ\lambda 个独立的均值为 1 的泊松变量之和，由中心极限定理，P(n)P(n) 趋于 N(λ,λ)N(\lambda,\lambda)。

§C8.3"方差等于均值"的物理意义

理想气体的密度涨落。由 (8.8)，一般气体中 Var(N)⟨N⟩=nkBTκT\frac{\mathrm{Var}(N)}{\langle N\rangle} = nk_{\mathrm B}T\kappa_T。理想气体 κT=1/p\kappa_T = 1/p，比值为 1——泊松分布，粒子的位置相互独立。有吸引力的实际气体压缩率更大，比值大于 1（粒子倾向于聚集），在临界点发散（临界乳光，§P3.5）；排斥占优的稠密液体比值远小于 1（粒子"排队"，位置反关联）。所以 Var(N)/⟨N⟩\mathrm{Var}(N)/\langle N\rangle 偏离 1 的程度直接衡量了粒子之间的关联（即 S(k→0)S(k\to0)，§22.3）。

光子与粒子的计数。对一个单粒子态（模式），由 (12.4)，占据数的方差为 ⟨n⟩(1−θ⟨n⟩)\langle n\rangle(1 - \theta\langle n\rangle)：

  • 经典极限（⟨n⟩≪1\langle n\rangle\ll1）：≈⟨n⟩\approx\langle n\rangle，泊松型；
  • 玻色子（θ=−1\theta = -1）：⟨n⟩+⟨n⟩2\langle n\rangle + \langle n\rangle^2，比泊松更大——热光中光子"成群"到达（聚束效应，汉伯里·布朗与特威斯，1956）；
  • 费米子（θ=+1\theta = +1）：⟨n⟩−⟨n⟩2\langle n\rangle - \langle n\rangle^2，比泊松更小——费米子互相"回避"。

爱因斯坦 1909 年正是从黑体辐射能量涨落中的"⟨n⟩2\langle n\rangle^2 项"（波动项）与"⟨n⟩\langle n\rangle 项"（粒子项）看出了光的波粒二象性（§28.4）。

§C8.4泊松过程与指数等待时间

设事件在时间中独立地随机发生，在任一小时间间隔 dtdt 内发生一次的概率为 r dtr\,dt（rr 为速率），与过去无关。把时间 tt 分成 NN 个小段，每段发生一次的概率 p=rt/Np = rt/N，由 §C8.1，tt 时间内的事件数服从均值 rtrt 的泊松分布。

等待时间。从任一时刻起，直到下一个事件的时间 TT：P(T>t)=P(t 时间内没有事件)=e−rtP(T>t) = P(t\text{ 时间内没有事件}) = e^{-rt}，所以 TT 服从指数分布 p(t)=re−rtp(t) = re^{-rt}，平均等待时间 1/r1/r。它具有无记忆性：P(T>t+s ∣ T>t)=e−r(t+s)/e−rt=P(T>s)P(T>t + s\,\vert\,T>t) = e^{-r(t+s)}/e^{-rt} = P(T>s)——已经等了多久，对还要等多久毫无影响。

物理中的例子：

  • 德鲁德模型（§11.1）与弛豫时间近似（§25.6）：电子在 dtdt 内碰撞的概率为 dt/τdt/\tau，所以两次碰撞之间的自由飞行时间服从平均值为 τ\tau 的指数分布；同理，自由程服从平均值为 ℓ\ell 的指数分布，P(自由程>x)=e−x/ℓP(\text{自由程}>x) = e^{-x/\ell}。
  • 放射性衰变：NN 个原子核中尚未衰变的数目按 e−rte^{-rt} 减少；探测器在时间 tt 内的计数服从泊松分布（若 tt 远小于寿命）。
  • 主方程（§23.6）中，系统在某个态上的停留时间服从指数分布，速率是离开该态的总速率 ∑jWij\sum_jW_{ij}。

§C8.5空间中的泊松过程

点在空间中独立、均匀地随机分布，平均密度为 nn，则任一体积 vv 中的点数服从均值 nvnv 的泊松分布（理由与 §C8.1 相同）。两个应用：

最近邻距离。从任一点看，半径 rr 的球内没有其他点的概率为 e−43πr3ne^{-\frac43\pi r^3n}。所以最近邻距离 RR 满足 P(R>r)=e−43πnr3P(R>r) = e^{-\frac43\pi nr^3}，平均值为

⟨R⟩=∫0∞P(R>r) dr=Γ ⁣(43)(4πn3)−1/3≈0.554 n−1/3(C8.3)\langle R\rangle = \int_0^\infty P(R>r)\,dr = \Gamma\!\left(\frac43\right)\left(\frac{4\pi n}{3}\right)^{-1/3}\approx0.554\,n^{-1/3} \tag{C8.3}

（第一个等号对非负变量普遍成立：∫0∞P(R>r) dr=∫0∞∫r∞p(r′) dr′ dr=∫0∞r′p(r′) dr′\int_0^\infty P(R>r)\,dr = \int_0^\infty\int_r^\infty p(r')\,dr'\,dr = \int_0^\infty r'p(r')\,dr'；第二个等号令 u=4πn3r3u = \frac{4\pi n}{3}r^3 并用 (2.8)。）

阿夫拉米方程（§31.7）。假想晶粒的成核事件在时空中构成泊松过程：每个时空小体积元 dV dt′dV\,dt' 中独立地以概率 I dV dt′I\,dV\,dt' 成核。一个给定点在 tt 时刻被覆盖，当且仅当某个晶粒在 t′t' 时刻、在以该点为中心、半径 G(t−t′)G(t - t') 的球内成核。这些"能覆盖该点"的时空区域的总"成核期望数"正是 XextX_{\mathrm{ext}}，所以覆盖该点的晶粒数服从均值 XextX_{\mathrm{ext}} 的泊松分布，未被覆盖的概率为 P(0)=e−XextP(0) = e^{-X_{\mathrm{ext}}}，即 (31.11)。

自测题

  1. 证明独立的泊松变量（均值 λ1\lambda_1、λ2\lambda_2）之和服从均值 λ1+λ2\lambda_1 + \lambda_2 的泊松分布。
  2. 一个子体积中平均有 4 个分子。它恰好是空的概率是多少？［答：e−4≈0.018e^{-4}\approx0.018。］
  3. 标准状况下理想气体的数密度约为 2.7×1025 m−32.7\times10^{25}\ \mathrm{m^{-3}}。由 (C8.3) 估计分子之间的平均最近邻距离。［答：约 1.8 nm。］
  4. 一个放射源平均每秒被探测到 100 个计数。10 ms 内没有计数的概率是多少？恰有 2 个计数的概率呢？［答：λ=1\lambda = 1；e−1≈0.37e^{-1}\approx0.37；e−1/2≈0.18e^{-1}/2\approx0.18。］
  5. 由 (C8.2) 求 ⟨n3⟩\langle n^3\rangle，并验证三阶累积量 ⟨(n−λ)3⟩=λ\langle(n - \lambda)^3\rangle = \lambda。［提示：G′′′(1)=⟨n(n−1)(n−2)⟩=λ3G'''(1) = \langle n(n-1)(n-2)\rangle = \lambda^3。］

引用本篇的笔记

5 篇
第 8 章巨正则系综（详见附录 C8。第 31 章成核与生长的统计理论"假想晶粒"的中心是随机、相互独立地分布的，所以覆盖某个给定点的假想晶粒数服从泊松分布（提示 C8），平均值为 XextX_{\mathrm{ext}}。附录 A10级数：几何级数、指数与对数展开、用积分近似求和同一个级数也是泊松分布的归一化（附录 C8）。附录 C1随机变量与概率分布（离散与连续）指数分布 p(x)=λe−λxp(x) = \lambda e^{-\lambda x}（x≥0x\ge0），描述"每单位时间以固定速率 λ\lambda 发生的事件"的等待时间（附录 C8）；附录 C4排列组合与二项分布若 v≪Vv\ll V，方差约等于均值——这是泊松分布的特征（附录 C8）。
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