经典力学要点

关于预备章：预备章 P1–P5 为第三至六部分提供物理基础。标"【物理输入】"的是作为出发点的基本定律，不加推导；其余结论都给出推导。公式编号形如 (P1.3)。

§P1.1拉格朗日方程与作用量原理

描述系统所需的独立坐标称为广义坐标 $q_1,\dots,q_f$（例如摆的角度、分子的取向角），它们不必是直角坐标。定义拉格朗日量 $L(q,\dot q,t) = T - V$ 与作用量

作用量原理：在端点 $q(t_1)$、$q(t_2)$ 固定的一切路径中，真实运动使 $S$ 取驻值。令 $q_i(t)\to q_i(t) + \delta q_i(t)$，$\delta q_i(t_1) = \delta q_i(t_2) = 0$。由于 $\delta\dot q_i = \frac{d}{dt}\delta q_i$，把含 $\delta\dot q_i$ 的项分部积分（端点项为零）：

所以 $\delta S = 0$ 等价于拉格朗日方程：

与牛顿定律等价：在直角坐标中 $L = \sum_i\frac12m_i\dot x_i^2 - V(x)$，(P1.2) 给出 $m_i\ddot x_i = -\partial V/\partial x_i$，正是牛顿第二定律。"作用量取驻值"这一说法与用什么坐标描述路径无关，所以 (P1.2) 在任何广义坐标下都成立。好处是：只要写出 $T$ 与 $V$，约束（如刚性杆的长度不变）会被自动处理。

例：线形刚性转子。双原子分子中两个原子到质心的距离 $r_1$、$r_2$ 固定，取向由极角 $\theta$、方位角 $\varphi$ 描述。原子 $k$ 的位置为 $r_k(\sin\theta\cos\varphi,\ \sin\theta\sin\varphi,\ \cos\theta)$（另一个原子在相反方向）。对时间求导、三个分量平方相加（交叉项相消），得速率平方 $r_k^2(\dot\theta^2 + \sin^2\theta\,\dot\varphi^2)$，所以

设键长为 $r_0$，由质心条件 $m_1r_1 = m_2r_2$ 与 $r_1 + r_2 = r_0$ 得 $r_1 = m_2r_0/(m_1+m_2)$，$r_2 = m_1r_0/(m_1+m_2)$，于是

$\mu$ 称为约化质量。这就是 §7.3 中转动惯量的来源，也说明了第7章自测题 1 中"转动惯量正比于约化质量"。

§P1.2哈密顿方程、泊松括号与时间反演

定义广义动量与哈密顿量（对 $\dot q$ 的勒让德变换，提示 A5）：

求全微分：$d\mathcal H = \sum_i(\dot q_i\,dp_i + p_i\,d\dot q_i) - \sum_i\left(\frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i + \frac{\partial L}{\partial\dot q_i}d\dot q_i\right) - \frac{\partial L}{\partial t}dt$。由 $p_i$ 的定义，含 $d\dot q_i$ 的项相消；由 (P1.2)，$\partial L/\partial q_i = \dot p_i$。于是 $d\mathcal H = \sum_i(\dot q_i\,dp_i - \dot p_i\,dq_i) - \frac{\partial L}{\partial t}dt$。与 $\mathcal H(q,p,t)$ 的全微分逐项比较，得哈密顿方程（即 (2.21)）：

哈密顿量就是能量。若坐标变换不显含时间，动能 $T$ 是 $\dot q$ 的二次齐次函数，而 $V$ 不含 $\dot q$。由欧拉定理（提示 A9，$k = 2$），$\sum_ip_i\dot q_i = \sum_i\dot q_i\,\partial T/\partial\dot q_i = 2T$，所以

又由 (P1.6)，$d\mathcal H/dt = \sum_i(\frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i}\dot q_i + \frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i}\dot p_i) + \frac{\partial\mathcal H}{\partial t} = \frac{\partial\mathcal H}{\partial t}$：$\mathcal H$ 不显含时间时能量守恒。

例：对 (P1.3)，$p_\theta = I\dot\theta$，$p_\varphi = I\sin^2\theta\,\dot\varphi$，$\mathcal H = \frac{p_\theta^2}{2I} + \frac{p_\varphi^2}{2I\sin^2\theta}$——这就是 (7.7) 中用到的转子哈密顿量。

泊松括号。对任意力学量 $A(q,p,t)$，由链式法则与 (P1.6)：

特别地 $\lbrace q_i,p_j\rbrace = \delta_{ij}$；不显含时间的 $A$ 守恒当且仅当 $\lbrace A,\mathcal H\rbrace = 0$。刘维尔定理 (2.22) 可以写成 $\partial\rho/\partial t = -\lbrace\rho,\mathcal H\rbrace$，所以 $\rho = f(\mathcal H)$ 不随时间变化（$\lbrace f(\mathcal H),\mathcal H\rbrace = f'(\mathcal H)\lbrace\mathcal H,\mathcal H\rbrace = 0$）。§P2.1 将看到，量子力学把泊松括号换成对易子：$\lbrace q,p\rbrace = 1\ \to\ [\hat q,\hat p] = i\hbar$。

时间反演对称性。若 $\mathcal H(q,p)$ 是 $p$ 的偶函数（如 $\sum p^2/2m + V(q)$），且 $(q(t),p(t))$ 是 (P1.6) 的解，则 $\tilde q(t) = q(-t)$、$\tilde p(t) = -p(-t)$ 也是解。这是因为 $\partial\mathcal H/\partial p$ 是 $p$ 的奇函数、$\partial\mathcal H/\partial q$ 是 $p$ 的偶函数：

即把所有速度反向，系统会沿原轨道"倒放"。这是洛施密特可逆性反驳（§27.4）的力学基础，也是 §P1.6 中"逆碰撞"论证的依据。

§P1.3小振动与简正模

设 $q = 0$ 是稳定平衡位置（$V$ 的极小）。在其附近把势能展开到二阶（提示 A3；一阶项在平衡点为零，常数项取作零）：$V\approx\frac12\sum_{i,j}K_{ij}q_iq_j$，$K_{ij} = \partial^2V/\partial q_i\partial q_j|_0$。由混合偏导数相等，$K$ 是对称矩阵。对原子的直角位移 $u_i$，动能为 $\sum_i\frac12m_i\dot u_i^2$。引入质量加权坐标 $w_i = \sqrt{m_i}\,u_i$：

由 (P1.2)，运动方程为 $\ddot w_i = -\sum_jD_{ij}w_j$。$D$ 是实对称矩阵，可以正交对角化（提示 B2）：$D = O\Lambda O^{\mathsf T}$。令 $Q = O^{\mathsf T}w$，则 $\ddot Q_\alpha = -\lambda_\alpha Q_\alpha$：每个简正坐标 $Q_\alpha$ 以频率 $\omega_\alpha = \sqrt{\lambda_\alpha}$ 独立振动。平衡稳定要求 $\lambda_\alpha\ge0$；若某个 $\lambda_\alpha<0$，$Q_\alpha$ 会指数增长。正交变换保持长度，$\sum_i\dot w_i^2 = \sum_\alpha\dot Q_\alpha^2$，所以总能量是独立振子之和：

例：两个耦合振子。两个质量为 $m$ 的物体各用劲度系数 $k$ 的弹簧连在墙上，彼此之间用劲度系数 $k'$ 的弹簧相连：$V = \frac12ku_1^2 + \frac12ku_2^2 + \frac12k'(u_1 - u_2)^2$。于是

两个简正模是同相振动 $\omega_1 = \sqrt{k/m}$（中间弹簧不伸缩）与反相振动 $\omega_2 = \sqrt{(k+2k')/m}$。

零频率模与振动自由度的数目。对自由的分子，所有原子沿同一方向作相同的平移不改变势能，所以 $D$ 有零本征值；整体转动也一样。$n$ 个原子共 $3n$ 个自由度，扣除 3 个平动与 3 个转动（线形分子只扣 2 个转动，因为绕分子轴的转动不移动任何原子核），振动简正模的数目为 $3n - 6$（非线形）或 $3n - 5$（线形）——这是 §7.4 中用到的计数。

量子化：每个简正模是一个独立的谐振子，量子力学中能级为 $(n_\alpha + \frac12)\hbar\omega_\alpha$（§P2.3；新坐标满足正确的对易关系，见 §6.5）。

§P1.4阻尼振动、受迫振动与共振

许多响应问题（布朗运动、介电与磁响应、谱线线形）都可以归结为受阻尼的谐振子：

$-m\gamma\dot x$ 是阻尼力，$F(t)$ 是外力。

自由阻尼振动（$F = 0$）：代入 $x = e^{st}$ 得 $s^2 + \gamma s + \omega_0^2 = 0$，$s = -\gamma/2\pm i\omega_1$，$\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2/4}$（设 $\gamma<2\omega_0$）。实解为 $x = Ae^{-\gamma t/2}\cos(\omega_1t + \phi)$。能量正比于振幅的平方，按 $e^{-\gamma t}$ 衰减：$\gamma$ 是能量的弛豫速率。

受迫振动与响应函数。设 $F(t) = \mathrm{Re}[F_0e^{-i\omega t}]$（$F_0$ 为实数）。暂态衰减后，稳态解取 $x = \mathrm{Re}[\hat xe^{-i\omega t}]$，代入 (P1.11)（$d/dt\to-i\omega$）：$m(\omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega)\hat x = F_0$，即 $\hat x = \chi(\omega)F_0$，

$\chi(\omega)$ 称为响应函数（极化率）。分子分母同乘以分母的共轭，得实部与虚部：

能量耗散由虚部决定。$x(t) = F_0(\chi'\cos\omega t + \chi''\sin\omega t)$，$\dot x = F_0\omega(-\chi'\sin\omega t + \chi''\cos\omega t)$。对一个周期取平均（$\langle\cos^2\omega t\rangle = \frac12$，$\langle\sin\omega t\cos\omega t\rangle = 0$），外力的平均功率为

对 $\omega>0$ 有 $\chi''>0$：系统吸收能量。第24章的涨落–耗散定理将表明，同一个 $\chi''$ 还决定了系统在平衡态下的自发涨落。

共振与洛伦兹线形。若 $\gamma\ll\omega_0$，在 $\omega\approx\omega_0$ 附近 $\omega_0^2 - \omega^2\approx2\omega_0(\omega_0 - \omega)$，$\gamma\omega\approx\gamma\omega_0$，于是

这是洛伦兹线形：半高全宽为 $\gamma$，即能量衰减速率；品质因子 $Q = \omega_0/\gamma$。各种共振谱线的宽度与相应激发的寿命之间的关系（线宽约等于衰减速率）就来自这里。

任意外力。方程 (P1.11) 是线性的：任意外力可以分解为许多频率分量之和，每个分量的响应由 $\chi(\omega)$ 给出，再叠加起来。所以 $\chi(\omega)$ 完全刻画了系统的线性响应。

§P1.5刚体转动：转动惯量张量与主轴

刚体以角速度 $\boldsymbol\omega$ 绕质心转动时，各点的速度为 $\mathbf v = \boldsymbol\omega\times\mathbf r$。利用矢量恒等式 $\lvert\boldsymbol\omega\times\mathbf r\rvert^2 = \omega^2r^2 - (\boldsymbol\omega\cdot\mathbf r)^2$ 与 $\mathbf r\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r) = \boldsymbol\omega r^2 - \mathbf r(\mathbf r\cdot\boldsymbol\omega)$（提示 B1），写成分量即得

$I$ 是对称矩阵（转动惯量张量），可以正交对角化（提示 B2）。在主轴坐标系中 $I = \mathrm{diag}(I_1,I_2,I_3)$，$L_a = I_a\omega_a$，

非线形分子的转动能有三个平方项，高温下由均分定理得 $U_{\mathrm r} = \frac32Nk_{\mathrm B}T$（§7.3）。线形分子的所有原子都在一条轴上（取为第 3 轴），$I_3 = 0$、$I_1 = I_2 = I$，且 $L_3 = 0$，只剩两个平方项 $(L_1^2 + L_2^2)/2I = L^2/2I$，与 (P1.3) 一致。

§P1.6两体碰撞与散射截面

化为单体问题。两粒子的质心 $\mathbf R = (m_1\mathbf r_1 + m_2\mathbf r_2)/M$（$M = m_1 + m_2$），相对坐标 $\mathbf r = \mathbf r_1 - \mathbf r_2$，则 $\mathbf r_1 = \mathbf R + \frac{m_2}{M}\mathbf r$，$\mathbf r_2 = \mathbf R - \frac{m_1}{M}\mathbf r$。代入动能，交叉项 $m_1\frac{m_2}{M} - m_2\frac{m_1}{M} = 0$ 相消：

若相互作用只依赖于 $\lvert\mathbf r\rvert$，质心匀速运动，相对运动等价于质量为 $\mu$ 的单个粒子在势场中运动。

弹性碰撞。在质心系中总动量为零，碰撞前后两粒子的动量分别为 $\pm\mathbf p$ 与 $\pm\mathbf p'$；能量守恒 $p^2/2\mu = p'^2/2\mu$ 给出 $\lvert\mathbf p'\rvert = \lvert\mathbf p\rvert$：碰撞只改变相对动量的方向，转过的角度称为散射角 $\chi$。

散射截面。入射粒子流密度为 $j$（单位时间穿过单位面积的粒子数），单位时间被散射到立体角 $d\Omega$ 内的粒子数记为 $j\,(d\sigma/d\Omega)\,d\Omega$；$d\sigma/d\Omega$ 称为微分截面，$\sigma = \int(d\sigma/d\Omega)\,d\Omega$ 称为总截面，即靶的"有效面积"。

例：硬球。两个直径为 $d$ 的硬球，只有当入射方向上的瞄准距离 $b<d$ 时才会相碰，所以

角分布：相碰时两球心连线与入射方向的夹角 $\alpha$ 满足 $\sin\alpha = b/d$；弹性碰撞相当于相对速度关于这条连线"镜面反射"，散射角 $\chi = \pi - 2\alpha$，即 $b = d\cos(\chi/2)$。瞄准距离在 $[b,b+db]$ 内（面积 $2\pi b\,\lvert db\rvert$）的粒子散射到 $[\chi,\chi+d\chi]$ 内（立体角 $2\pi\sin\chi\,d\chi$），用 $\sin\chi = 2\sin(\chi/2)\cos(\chi/2)$：

硬球散射在质心系中各向同性，积分得 $4\pi\cdot d^2/4 = \pi d^2$，与 (P1.19) 一致。截面将用于平均自由程（§P5.1）与玻尔兹曼方程（第25章）。

逆碰撞。时间反演（§P1.2）把碰撞 $(\mathbf v_1,\mathbf v_2)\to(\mathbf v_1',\mathbf v_2')$ 变为 $(-\mathbf v_1',-\mathbf v_2')\to(-\mathbf v_1,-\mathbf v_2)$；空间反演（中心力具有这一对称性）再把所有速度反号，得到 $(\mathbf v_1',\mathbf v_2')\to(\mathbf v_1,\mathbf v_2)$。两种对称性都不改变截面，所以一个碰撞与其逆碰撞的截面相同。这是麦克斯韦 1867 年"细致平衡"论证（§27.3）与玻尔兹曼方程的力学基础。

§P1.7相对论性粒子的能量与动量

由 $E^2 - p^2c^2 = \gamma_v^2m^2c^4(1 - v^2/c^2) = m^2c^4$：

由哈密顿方程，速度 $v = \partial\varepsilon/\partial p = pc^2/\varepsilon$（与 $pc^2/E = v$ 一致）。两个极限（提示 A3：$\sqrt{1+x}\approx1 + x/2$）：

• $p\ll mc$：$\varepsilon\approx mc^2 + p^2/2m$，即静能加非相对论动能；
• $p\gg mc$：$\varepsilon\approx pc$，与光子（$m = 0$）相同。

电子的 $m_{\mathrm e}c^2 = 511$ keV。第13章中，白矮星内电子的动量大到 $p\sim m_{\mathrm e}c$，必须使用 (P1.20)。

自测题

1. 用拉格朗日方程推导单摆（摆长 $l$、质量 $m$）的运动方程，并求小振动的角频率。［答：$\ddot\theta = -(g/l)\sin\theta$，$\omega = \sqrt{g/l}$］
2. 线形三原子分子 $\mathrm{CO_2}$ 有几个振动简正模？非线形的 $\mathrm{H_2O}$ 呢？［答：4（其中弯曲振动二重简并）；3］
3. 由 (P1.15) 证明 $\chi''$ 曲线下的面积约为 $\pi/(2m\omega_0)$，与 $\gamma$ 无关。［提示：$\int_{-\infty}^\infty\frac{a\,dx}{x^2+a^2} = \pi$］