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数学基础 · 附录 A 微积分要点 · A11

矢量分析：梯度、散度、旋度与连续性方程

Vector Calculus: Gradient, Divergence, Curl and the Continuity Equation
已完成速查更新于 2026.10.08统计物理讲义 v1.0

正文用到本节的地方：刘维尔定理（§2.6，相空间中的连续性方程）、电磁波方程（§P3.4）、扩散方程与输运（§P5.2、第25章）、福克–普朗克方程中的概率流（§23.4）、金兹堡–朗道理论中的梯度项与关联函数（§19.4）、卡恩–希利亚德方程（§31.6）。

下面用 ∇=(∂x,∂y,∂z)\nabla = (\partial_x,\partial_y,\partial_z) 表示"矢量微分算符"。梯度、散度、高斯定理、连续性方程与拉普拉斯算子对任意维数（包括 2f2f 维相空间）都成立，只需把三个分量换成 nn 个分量；旋度与斯托克斯定理只适用于三维，(A11.4)、(A11.11) 中的 4π4\pi 也是三维的结果。

§A11.1梯度

标量场 f(r)f(\mathbf r) 的梯度是

∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z),df=∇f⋅dr(A11.1)\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right),\qquad df = \nabla f\cdot d\mathbf r \tag{A11.1}

第二式就是全微分 (A1.2)。由它可知：沿单位向量 n\mathbf n 方向的变化率（方向导数）是 n⋅∇f\mathbf n\cdot\nabla f；它在 n\mathbf n 平行于 ∇f\nabla f 时最大，所以梯度指向 ff 增加最快的方向，大小是这个最大变化率；沿等值面移动时 df=0df = 0，所以梯度垂直于等值面。

物理中的梯度：保守力 F=−∇V\mathbf F = -\nabla V；热流 JQ=−κ∇T\mathbf J_Q = -\kappa\nabla T（傅里叶定律）；粒子流 Jn=−D∇n\mathbf J_n = -D\nabla n（菲克定律，§P5.2）。"流沿着梯度的反方向"是线性输运的共同形式。

常用梯度（r=∣r∣r = \lvert\mathbf r\rvert，r^=r/r\hat{\mathbf r} = \mathbf r/r）：∇r=r^\nabla r = \hat{\mathbf r}；∇f(r)=f′(r) r^\nabla f(r) = f'(r)\,\hat{\mathbf r}；∇(1/r)=−r^/r2\nabla(1/r) = -\hat{\mathbf r}/r^2；∇(k⋅r)=k\nabla(\mathbf k\cdot\mathbf r) = \mathbf k；∇eik⋅r=ik eik⋅r\nabla e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r} = i\mathbf k\,e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}。最后一个说明：对平面波，∇\nabla 相当于乘以 iki\mathbf k——这是傅里叶方法的基础（附录 A14）。

§A11.2散度与高斯定理

矢量场 v\mathbf v 的散度是

∇⋅v=∂vx∂x+∂vy∂y+∂vz∂z(A11.2)\nabla\cdot\mathbf v = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} \tag{A11.2}

含义：单位体积的净流出量。 取一个边长为 dx,dy,dzdx,dy,dz 的小长方体。通过垂直于 xx 轴的两个面的净流出量为 [vx(x+dx)−vx(x)] dy dz≈∂xvx dx dy dz[v_x(x+dx) - v_x(x)]\,dy\,dz\approx\partial_xv_x\,dx\,dy\,dz；三个方向相加得 (∇⋅v) dV(\nabla\cdot\mathbf v)\,dV。把一个有限区域 VV 切成许多小长方体，相邻小块的公共面上一个流出、一个流入，相互抵消，只剩下区域外表面上的贡献。这就是高斯定理：

∫V∇⋅v dV=∮∂Vv⋅dA(A11.3)\int_V\nabla\cdot\mathbf v\,dV = \oint_{\partial V}\mathbf v\cdot d\mathbf A \tag{A11.3}

（dAd\mathbf A 的方向为外法线方向。）

例：∇⋅r=3\nabla\cdot\mathbf r = 3（dd 维中为 dd）。对径向场 v=g(r) r\mathbf v = g(r)\,\mathbf r，由乘积法则 ∇⋅v=3g+r⋅∇g=3g+rg′(r)\nabla\cdot\mathbf v = 3g + \mathbf r\cdot\nabla g = 3g + rg'(r)。取 g=r−3g = r^{-3}，即 v=r^/r2\mathbf v = \hat{\mathbf r}/r^2：∇⋅v=3r−3−3r−3=0\nabla\cdot\mathbf v = 3r^{-3} - 3r^{-3} = 0（r≠0r\ne0）。但穿过任意以原点为心的球面的通量是 1r2⋅4πr2=4π\frac{1}{r^2}\cdot4\pi r^2 = 4\pi，不为零！矛盾的解决：所有"源"都集中在原点一点上，

∇⋅r^r2=4π δ3(r)(A11.4)\nabla\cdot\frac{\hat{\mathbf r}}{r^2} = 4\pi\,\delta^3(\mathbf r) \tag{A11.4}

（δ 函数见附录 A14。）这就是点电荷的库仑场满足高斯定律的数学表述。

§A11.3连续性方程

设某种守恒的量（粒子数、能量、电荷、概率……）的密度为 ρ(r,t)\rho(\mathbf r,t)，流密度（单位时间穿过单位面积的量）为 J\mathbf J；若它随速度场 v\mathbf v 流动，则 J=ρv\mathbf J = \rho\mathbf v。对任意固定的区域 VV，其中的总量只能通过边界的流动而改变：

ddt∫Vρ dV=−∮∂VJ⋅dA=−∫V∇⋅J dV\frac{d}{dt}\int_V\rho\,dV = -\oint_{\partial V}\mathbf J\cdot d\mathbf A = -\int_V\nabla\cdot\mathbf J\,dV

（第二步用了 (A11.3)。）由于 VV 是任意的，被积函数必须处处相等：

∂ρ∂t+∇⋅J=0(A11.5)\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf J = 0 \tag{A11.5}

物质导数。当 J=ρv\mathbf J = \rho\mathbf v 时，∇⋅(ρv)=v⋅∇ρ+ρ∇⋅v\nabla\cdot(\rho\mathbf v) = \mathbf v\cdot\nabla\rho + \rho\nabla\cdot\mathbf v，于是 (A11.5) 可以写成

DρDt≡∂ρ∂t+v⋅∇ρ=−ρ ∇⋅v(A11.6)\frac{D\rho}{Dt}\equiv\frac{\partial\rho}{\partial t} + \mathbf v\cdot\nabla\rho = -\rho\,\nabla\cdot\mathbf v \tag{A11.6}

Dρ/DtD\rho/Dt 是"跟随流体一起运动时看到的 ρ\rho 的变化率"（链式法则 (A1.3)：ddtρ(r(t),t)=∂tρ+r˙⋅∇ρ\frac{d}{dt}\rho(\mathbf r(t),t) = \partial_t\rho + \dot{\mathbf r}\cdot\nabla\rho）。若 ∇⋅v=0\nabla\cdot\mathbf v = 0（不可压缩流动），跟随运动时密度不变。

正文中的连续性方程：

  1. 刘维尔定理（§2.6）。相空间的"速度"是 (q˙i,p˙i)=(∂H/∂pi, −∂H/∂qi)(\dot q_i,\dot p_i) = (\partial\mathcal H/\partial p_i,\,-\partial\mathcal H/\partial q_i)，它的散度为 ∑i[∂2H∂qi∂pi−∂2H∂pi∂qi]=0\sum_i\left[\frac{\partial^2\mathcal H}{\partial q_i\partial p_i} - \frac{\partial^2\mathcal H}{\partial p_i\partial q_i}\right] = 0（混合偏导数相等，(A2.4)）。哈密顿流是不可压缩的，由 (A11.6) 即得 (2.22)。若有摩擦（p˙=−∂H/∂q−γp\dot p = -\partial\mathcal H/\partial q - \gamma p），散度变为 −fγ<0-f\gamma<0，相空间体积收缩——这就是为什么朗之万方程中摩擦必须伴随随机力（第23章）。
  2. 扩散（§P5.2）：J=−D∇n\mathbf J = -D\nabla n 代入 (A11.5)，得 ∂n/∂t=D∇2n\partial n/\partial t = D\nabla^2n（附录 A15）。
  3. 福克–普朗克方程（§23.4）：(23.11) 就是一维的 ∂P/∂t+∂J/∂x=0\partial P/\partial t + \partial J/\partial x = 0，概率流 JJ 由 (23.12) 给出，包含漂移与扩散两部分。
  4. 卡恩–希利亚德方程（§31.6）：守恒的组分 ϕ\phi 满足 ∂ϕ/∂t=−∇⋅J\partial\phi/\partial t = -\nabla\cdot\mathbf J，J=−Mc∇μ\mathbf J = -M_{\mathrm c}\nabla\mu。

§A11.4旋度与斯托克斯定理

∇×v=(∂yvz−∂zvy, ∂zvx−∂xvz, ∂xvy−∂yvx)(A11.7)\nabla\times\mathbf v = \left(\partial_yv_z - \partial_zv_y,\ \partial_zv_x - \partial_xv_z,\ \partial_xv_y - \partial_yv_x\right) \tag{A11.7}

含义：单位面积的环量。 绕法线为 n\mathbf n 的小回路一周，∮v⋅dl≈(∇×v)⋅n dA\oint\mathbf v\cdot d\mathbf l\approx(\nabla\times\mathbf v)\cdot\mathbf n\,dA。把一个曲面切成许多小回路，内部的边被相邻回路反向走两次而相消，得到斯托克斯定理：

∮Cv⋅dl=∫S(∇×v)⋅dA(A11.8)\oint_C\mathbf v\cdot d\mathbf l = \int_S(\nabla\times\mathbf v)\cdot d\mathbf A \tag{A11.8}

二维版本就是附录 A2 中的格林公式 (A2.6)。

无旋场与势。∇×(∇f)=0\nabla\times(\nabla f) = 0：例如 xx 分量是 ∂y∂zf−∂z∂yf=0\partial_y\partial_zf - \partial_z\partial_yf = 0（混合偏导数相等）。反之，在单连通区域中 ∇×F=0\nabla\times\mathbf F = 0 保证 F=−∇V\mathbf F = -\nabla V——这正是附录 A2 中"恰当微分"判据 (A2.7) 的矢量说法：∇×F=0\nabla\times\mathbf F = 0 就是 ∂Fi/∂xj=∂Fj/∂xi\partial F_i/\partial x_j = \partial F_j/\partial x_i。另一个恒等式是 ∇⋅(∇×v)=0\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf v) = 0。

§A11.5拉普拉斯算子

∇2f=∇⋅∇f=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2(A11.9)\nabla^2f = \nabla\cdot\nabla f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2f}{\partial z^2} \tag{A11.9}

它衡量 ff 在一点的值与周围平均值之差：由 (A3.6)，f(x+h)+f(x−h)−2f(x)h2≈∂x2f\frac{f(x+h) + f(x-h) - 2f(x)}{h^2}\approx\partial_x^2f，所以 ∇2f>0\nabla^2f>0 意味着周围的平均值高于该点。扩散方程 ∂tn=D∇2n\partial_tn = D\nabla^2n 的含义因此很直观：浓度向"周围平均值"靠拢。对平面波，∇2eik⋅r=−k2eik⋅r\nabla^2e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r} = -k^2e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}。

球对称函数的拉普拉斯。对 f(r)f(r)，∇f=f′rr\nabla f = \frac{f'}{r}\mathbf r，由 §A11.2 的公式（g=f′/rg = f'/r）：

∇2f=3f′r+r(f′r)′=f′′+2rf′=1rd2(rf)dr2(A11.10)\nabla^2f = 3\frac{f'}{r} + r\left(\frac{f'}{r}\right)' = f'' + \frac2rf' = \frac1r\frac{d^2(rf)}{dr^2} \tag{A11.10}

（dd 维中为 f′′+d−1rf′f'' + \frac{d-1}{r}f'。）应用：

  • f=1/rf = 1/r：rf=1rf = 1，所以 ∇2(1/r)=0\nabla^2(1/r) = 0（r≠0r\ne0）。结合 (A11.4)，∇21r=∇⋅(−r^r2)=−4πδ3(r)\nabla^2\frac1r = \nabla\cdot\left(-\frac{\hat{\mathbf r}}{r^2}\right) = -4\pi\delta^3(\mathbf r)，即
∇214πr=−δ3(r)(A11.11)\nabla^2\frac{1}{4\pi r} = -\delta^3(\mathbf r) \tag{A11.11}
  • f=e−r/ξ/rf = e^{-r/\xi}/r：rf=e−r/ξrf = e^{-r/\xi}，∇2f=f/ξ2\nabla^2f = f/\xi^2（r≠0r\ne0）。而 r→0r\to0 时 f≈1/rf\approx1/r，原点处的奇异性与 1/r1/r 相同。所以 (−∇2+ξ−2)e−r/ξ4πr=δ3(r)(-\nabla^2 + \xi^{-2})\frac{e^{-r/\xi}}{4\pi r} = \delta^3(\mathbf r)——这就是 §19.4 中验证奥恩斯坦–泽尼克解 (19.13) 的步骤。
  • dd 维中 ∇2r2−d=0\nabla^2r^{2-d} = 0（r≠0r\ne0）：(2−d)(1−d)r−d+(d−1)(2−d)r−d=0(2-d)(1-d)r^{-d} + (d-1)(2-d)r^{-d} = 0。所以 dd 维中点源的场按 r2−dr^{2-d} 衰减（d=2d = 2 时换成 ln⁡r\ln r）。临界点处关联函数 G∝r−(d−2+η)G\propto r^{-(d-2+\eta)} 中的"d−2d - 2"就来源于此。

§A11.6常用恒等式与三维分部积分

∇⋅(fv)=f ∇⋅v+v⋅∇f,∇×(∇×v)=∇(∇⋅v)−∇2v(A11.12)\nabla\cdot(f\mathbf v) = f\,\nabla\cdot\mathbf v + \mathbf v\cdot\nabla f,\qquad \nabla\times(\nabla\times\mathbf v) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf v) - \nabla^2\mathbf v \tag{A11.12}

第二式的验证（xx 分量）：[∇×(∇×v)]x=∂y(∂xvy−∂yvx)−∂z(∂zvx−∂xvz)=∂x(∂yvy+∂zvz)−(∂y2+∂z2)vx[\nabla\times(\nabla\times\mathbf v)]_x = \partial_y(\partial_xv_y - \partial_yv_x) - \partial_z(\partial_zv_x - \partial_xv_z) = \partial_x(\partial_yv_y + \partial_zv_z) - (\partial_y^2 + \partial_z^2)v_x；加上再减去 ∂x2vx\partial_x^2v_x，即得 ∂x(∇⋅v)−∇2vx\partial_x(\nabla\cdot\mathbf v) - \nabla^2v_x。§P3.4 由它从麦克斯韦方程推出波动方程 (P3.10)。

三维分部积分。在第一式中取 v=∇g\mathbf v = \nabla g，再对区域积分并用高斯定理：

∫Vf ∇2g dV=∮∂Vf ∇g⋅dA−∫V∇f⋅∇g dV(A11.13)\int_Vf\,\nabla^2g\,dV = \oint_{\partial V}f\,\nabla g\cdot d\mathbf A - \int_V\nabla f\cdot\nabla g\,dV \tag{A11.13}

若边界项为零（函数在无穷远处衰减，或采用周期性边界条件），则 ∫f∇2g=−∫∇f⋅∇g\int f\nabla^2g = -\int\nabla f\cdot\nabla g，这就是一维分部积分 ∫fg′′=−∫f′g′\int fg'' = -\int f'g' 的推广。§19.4 中 δ∫g∣∇m∣2=−∫2g(∇2m) δm\delta\int g\lvert\nabla m\rvert^2 = -\int2g(\nabla^2m)\,\delta m 用的正是 (A11.13)；附录 A12 中的泛函导数也要用到它。

自测题

  1. 计算 ∇⋅(r^/rn)\nabla\cdot(\hat{\mathbf r}/r^n)（r≠0r\ne0）。［答：(2−n)/rn+1(2-n)/r^{n+1}；n=2n = 2 时为零。］
  2. 验证 ∇2(e−r/ξ/r)=e−r/ξ/(ξ2r)\nabla^2(e^{-r/\xi}/r) = e^{-r/\xi}/(\xi^2r)（r≠0r\ne0）。
  3. 对 H=p2/2m+V(q)\mathcal H = p^2/2m + V(q)，验证相空间速度 (p/m, −V′(q))(p/m,\,-V'(q)) 的散度为零；若加上摩擦 p˙=−V′−γp\dot p = -V' - \gamma p，散度是多少？［答：−γ-\gamma。］
  4. 扩散发生在一个封闭容器中，器壁上 J⋅dA=0\mathbf J\cdot d\mathbf A = 0。用 (A11.5) 与高斯定理证明容器内的总粒子数不变。
  5. 证明 ∇⋅(∇×v)=0\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf v) = 0。［提示：写开后每一项都以"混合偏导数之差"的形式出现。］

引用本篇的笔记

8 篇
预备章 P3电磁学与物质的电、磁性质要点（详见附录 A11，恒等式的验证见 §A11.6。预备章 P5输运现象与不可逆过程热力学初步粒子数守恒给出连续性方程 ∂n/∂t+∇⋅Jn=0\partial n/\partial t + \nabla\cdot\mathbf J_n = 0（提示 A11），代入菲克定律：第 2 章统计描述的基础：微观态、宏观态与数学工具（详见 §A11.2–§A11.3。附录 A2全微分、恰当微分与混合偏导数相等格林公式（二维的斯托克斯定理，见附录 A11）说，对区域 DD 的边界 ∂D\partial D（逆时针）附录 A12变分法初步若 F[ϕ]=∫f(ϕ,∇ϕ) ddrF[\phi] = \int f(\phi,\nabla\phi)\,d^dr，同样的推导（分部积分用 (A11.12) 的第一式与高斯定理 (A11.3)）给出附录 A14傅里叶级数、傅里叶变换与 δ 函数另一条路：对 (−∇2+ξ−2)f=δ3(r)(-\nabla^2 + \xi^{-2})f = \delta^3(\mathbf r)（附录 A11）两边作变换，∇2→−k2\nabla^2\to-k^2，δ3→1\delta^3\to1，立即得到 (k2+ξ−2)f^=1(k^2 + \xi^{-2})\hat f = 1。
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