变分法初步

正文用到本节的地方：作用量原理与拉格朗日方程（§P1.1）；金兹堡–朗道理论的平衡方程 (19.11)（§19.4）；卡恩–希利亚德方程中的化学势 $\mu = \delta F/\delta\phi$（§31.6）。最大熵原理（§4.6）用于连续分布时，也是一个变分问题。

§A12.1泛函

普通函数把一个数映成一个数；泛函把一个函数映成一个数。例子：

• 作用量 $S[q] = \int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot q)\,dt$：给定一条路径 $q(t)$，得到一个数（§P1.1）。
• 金兹堡–朗道自由能 $F[m] = \int\left[am^2 + bm^4 + g\lvert\nabla m\rvert^2\right]d^dr$：给定一个序参量的空间分布，得到一个自由能（(19.10)）。
• 分布的熵 $H[p] = -\int p(x)\ln p(x)\,dx$。
• 平面上连接两点的曲线 $y(x)$ 的长度 $\int\sqrt{1 + y'^2}\,dx$。

变分问题就是求使泛函取驻值（极大、极小或鞍点）的函数。方括号 $[\,\cdot\,]$ 表示自变量是整个函数。

一个有用的类比：把函数 $\phi(x)$ 看成"无穷多个变量" $\phi_i = \phi(x_i)$ 的集合（$x_i$ 是间距为 $a$ 的格点），泛函就是这无穷多个变量的普通函数，积分就是求和 $\int dx\to\sum_ia$。变分法就是"无穷多元函数求极值"，下面的结论都可以这样理解。

§A12.2变分法基本引理

引理：若 $f(t)$ 连续，并且对一切在端点处为零的连续可导函数 $\eta(t)$ 都有

则 $f(t)\equiv0$。

证明：假设在某点 $t_0$ 处 $f(t_0)>0$。由连续性，$f$ 在 $t_0$ 附近的一个小区间 $(t_0 - \epsilon,t_0 + \epsilon)$ 内都大于零。取 $\eta$ 为只在这个小区间内不为零的"鼓包"，例如 $\eta = (t - t_0 + \epsilon)^2(t_0 + \epsilon - t)^2$（区间内）、$0$（区间外）。它连续可导、非负、在端点为零，而 $\int f\eta\,dt>0$，矛盾。$f(t_0)<0$ 同理。$\square$

多维版本完全一样：若 $\int f(\mathbf r)\,\eta(\mathbf r)\,d^dr = 0$ 对一切在边界上为零的 $\eta$ 成立，则 $f\equiv0$。

§A12.3欧拉–拉格朗日方程

考虑 $F[y] = \int_{x_1}^{x_2}L(x,y,y')\,dx$，端点值 $y(x_1)$、$y(x_2)$ 固定。令 $y\to y + \epsilon\eta$（$\eta$ 在端点为零），把 $F$ 看成 $\epsilon$ 的普通函数，驻值要求 $dF/d\epsilon = 0$（在 $\epsilon = 0$ 处）。由积分号下求导 (A7.1) 与链式法则：

第二步把含 $\eta'$ 的项分部积分，端点项 $\left[\frac{\partial L}{\partial y'}\eta\right]_{x_1}^{x_2}$ 因 $\eta$ 在端点为零而消失。由基本引理：

这就是欧拉–拉格朗日方程。$L$ 依赖于多个函数 $y_1,\dots,y_f$ 时，每个函数各有一个这样的方程；取 $x\to t$、$y\to q$，就是拉格朗日方程 (P1.2)。

例：两点之间直线最短。$L = \sqrt{1 + y'^2}$ 不含 $y$，(A12.1) 给出 $\frac{d}{dx}\frac{y'}{\sqrt{1 + y'^2}} = 0$，所以 $y'$ 为常数：直线。

场的情形。若 $F[\phi] = \int f(\phi,\nabla\phi)\,d^dr$，同样的推导（分部积分用 (A11.12) 的第一式与高斯定理 (A11.3)）给出

其中 $\partial f/\partial(\nabla\phi)$ 是以 $\partial f/\partial(\partial_x\phi)$ 等为分量的向量。

§A12.4泛函导数

定义：若对任意小的变化 $\delta\phi$，泛函的一阶变化可以写成

则称 $\delta F/\delta\phi(\mathbf r)$ 为 $F$ 的泛函导数。与多元函数的全微分 $df = \sum_i(\partial f/\partial x_i)\,dx_i$ 对比：指标 $i$ 换成了连续的位置 $\mathbf r$，求和换成了积分。泛函的驻值条件就是 $\delta F/\delta\phi = 0$。

由 §A12.3 的推导，对 $F = \int f(\phi,\nabla\phi)\,d^dr$：

例（正文中的两处）：

• 金兹堡–朗道自由能 (19.10)：$f = am^2 + bm^4 + g\lvert\nabla m\rvert^2 - hm$，$\partial f/\partial m = 2am + 4bm^3 - h$，$\partial f/\partial(\nabla m) = 2g\nabla m$，所以 $\delta F/\delta m = 2am + 4bm^3 - 2g\nabla^2m - h$。令它为零就是 (19.11)。
• 卡恩–希利亚德（§31.6）：$F = \int[f(\phi) + g\lvert\nabla\phi\rvert^2]$，$\delta F/\delta\phi = f'(\phi) - 2g\nabla^2\phi$，这就是局域化学势 $\mu$。

格点上的验证。在一维格点上（间距 $a$）把 $F = \int[f(\phi) + g\phi'^2]dx$ 写成 $F = \sum_ia\left[f(\phi_i) + g\left(\frac{\phi_{i+1} - \phi_i}{a}\right)^2\right]$。对某个 $\phi_i$ 求普通偏导数（它出现在两个差分项中）：

（最后一步用了 (A3.6)。）所以泛函导数就是"每单位体积"的偏导数：$\delta F/\delta\phi(x) = \lim_{a\to0}\frac1a\,\partial F/\partial\phi_i$。

两个基本公式：$\dfrac{\delta}{\delta\phi(\mathbf r)}\displaystyle\int g(\phi(\mathbf r'))\,d^dr' = g'(\phi(\mathbf r))$；$\dfrac{\delta\phi(\mathbf r')}{\delta\phi(\mathbf r)} = \delta^d(\mathbf r - \mathbf r')$（格点上 $\partial\phi_j/\partial\phi_i = \delta_{ij}$，除以 $a$ 后变成 δ 函数）。§19.4 中的线性响应 $\delta\langle m(\mathbf r)\rangle/\delta h(\mathbf r')$（(19.15)）就是一个泛函导数：$\mathbf r'$ 处的场改变时，$\mathbf r$ 处的磁化改变多少。

§A12.5带约束的变分：最大熵的连续版本

积分形式的约束用拉格朗日乘子处理（附录 A8），做法与离散情形完全相同。

例：给定方差，熵最大的分布是高斯分布。 在 $\int p\,dx = 1$、$\int x^2p\,dx = \sigma^2$ 下求 $H[p] = -\int p\ln p\,dx$ 的极大。令

被积函数不含 $p'$，(A12.4) 只剩 $\partial/\partial p$：$-\ln p - 1 - \alpha - \lambda x^2 = 0$，所以 $p\propto e^{-\lambda x^2}$。由约束定出 $\lambda = 1/(2\sigma^2)$：正是均值为零、方差为 $\sigma^2$ 的高斯分布 (2.5)。这是高斯分布在自然界中普遍出现的又一个理由（另一个是中心极限定理，附录 C6）：若只知道一个量的均值与方差，最"无偏"的猜测就是高斯分布。

同理，对速度分布 $f(\mathbf v)$ 只约束归一化与平均动能，得到 $f\propto e^{-\lambda mv^2/2}$，即麦克斯韦分布 (5.10)。

§A12.6首次积分与界面剖面

贝尔特拉米恒等式。若 $L(y,y')$ 不显含 $x$，则沿欧拉–拉格朗日方程的解

证明：对 $x$ 求导，$\frac{dL}{dx} = \frac{\partial L}{\partial y}y' + \frac{\partial L}{\partial y'}y''$，而 $\frac{d}{dx}\left(y'\frac{\partial L}{\partial y'}\right) = y''\frac{\partial L}{\partial y'} + y'\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}$；相减并用 (A12.1)，结果为零。在力学中（$x\to t$），(A12.5) 就是能量守恒。

例：两相之间的界面（金兹堡–朗道理论，$T<T_{\mathrm c}$，$a<0$，$h = 0$）。均匀的平衡态是 $f(m) = am^2 + bm^4$ 的两个极小 $m = \pm m_0$，$m_0^2 = \lvert a\rvert/(2b)$。设 $x\to-\infty$ 处为 $-m_0$ 相，$x\to+\infty$ 处为 $+m_0$ 相，求中间的过渡区。一维的自由能为 $\int[f(m) + gm'^2]dx$，$L = f(m) + gm'^2$ 不显含 $x$，由 (A12.5)：$f(m) - gm'^2 =$ 常数。在 $x\to\pm\infty$ 处 $m' = 0$、$f = f(m_0)$，所以

（第二个等号：$f(m) - f(m_0) = b(m^4 - m_0^4) + a(m^2 - m_0^2) = b(m^2 - m_0^2)(m^2 + m_0^2 - 2m_0^2)$，用了 $a = -2bm_0^2$。）开方：$m' = \sqrt{b/g}\,(m_0^2 - m^2)$。分离变量积分（$\int\frac{dm}{m_0^2 - m^2} = \frac{1}{m_0}\operatorname{artanh}\frac{m}{m_0}$）：

界面宽度 $w$ 与关联长度同数量级（$T<T_{\mathrm c}$ 时 $\xi^2 = g/(2\lvert a\rvert)$，所以 $w = 2\xi$），在 $T\to T_{\mathrm c}$ 时发散。单位面积的界面自由能（界面张力，第31章成核理论中的 $\gamma$）为

（第二步用了首次积分，第三步把 $dx$ 换成 $dm/m'$。）平均场理论预言界面张力按 $(T_{\mathrm c} - T)^{3/2}$ 趋于零。

§A12.7二阶变分：稳定性

驻值是极小还是极大，要看二阶变分。把 $F[\phi_0 + \delta\phi]$ 展开到 $\delta\phi$ 的二阶（附录 A3）：

取 $\delta\phi = \epsilon\cos(\mathbf k\cdot\mathbf r)$，空间平均后 $\delta^2F\propto\frac12f''(\phi_0) + gk^2$。若 $f''(\phi_0)>0$，一切扰动都使 $F$ 增加，均匀态稳定；若 $f''(\phi_0)<0$，波矢 $k<k_{\mathrm c} = \sqrt{-f''/(2g)}$ 的扰动使 $F$ 降低——这就是 §31.6 中旋节分解的不稳定性条件。梯度项（$g>0$）保证短波扰动总是代价太大。

自测题

1. 用 (A12.1) 求 $F[y] = \int_0^1(y'^2 + y^2)\,dx$ 的驻值曲线所满足的方程，并求满足 $y(0) = 0$、$y(1) = 1$ 的解。［答：$y'' = y$，$y = \sinh x/\sinh1$。］
2. 计算 $\dfrac{\delta}{\delta\phi(x)}\displaystyle\int\left[\frac12\phi'^2 + \frac{1}{4}\phi^4\right]dx$。［答：$-\phi'' + \phi^3$。］
3. 在 $\int_0^\infty p\,dx = 1$、$\int_0^\infty xp\,dx = \bar x$ 的约束下，求 $[0,\infty)$ 上熵最大的分布。［答：指数分布 $p = e^{-x/\bar x}/\bar x$。］
4. 验证 (A12.6) 满足 $gm'' = am + 2bm^3$（即 (19.11) 在 $h = 0$ 的一维形式）。
5. 验证 (A12.7) 中的积分：$\int_{-m_0}^{m_0}\left(1 - \frac{m^2}{m_0^2}\right)dm = \frac43m_0$，并由 $m' = \frac{m_0}{w}\left(1 - \frac{m^2}{m_0^2}\right)$ 得 $\gamma = \frac83gm_0^2/w$。