随机变量的变换（概率密度的变换）

同一个物理量可以用不同的变量描述：动量或速度，速度或动能，频率或波长。概率密度在换变量时不是简单地代入，而要乘上一个"雅可比因子"。正文用到本节的地方：动量分布换成速度分布（§5.4）、速度分布换成速率分布（§5.4 的 (5.11)）、普朗克谱换成以频率 $\nu$ 或波长 $\lambda$ 为变量（§15.1、§15.2）。

§C7.1一维单调变换

设 $Y = g(X)$，$g$ 单调递增，反函数为 $x(y)$。$Y\le y$ 当且仅当 $X\le x(y)$，所以累积分布函数满足 $F_Y(y) = F_X(x(y))$。对 $y$ 求导（链式法则）：$p_Y(y) = p_X(x(y))\,\frac{dx}{dy}$。若 $g$ 单调递减，$Y\le y$ 当且仅当 $X\ge x(y)$，求导多一个负号，而此时 $dx/dy<0$。两种情形合起来：

含义：对应的区间里概率相同。$x$ 在 $[x,x+dx]$ 中与 $y$ 在相应的 $[y,y+dy]$ 中是同一个事件，概率必须相等；区间的长度变了，密度就要相应地变。

例：频率与圆频率（§15.1）。$\nu = \omega/2\pi$，$d\omega/d\nu = 2\pi$，所以 $u_\nu = 2\pi\,u(\omega)$：同一段频谱中的能量不变，$u_\nu\,d\nu = u(\omega)\,d\omega$。

§C7.2非单调变换：用 δ 函数

一般情形可以统一写成

其中 $x_i$ 是方程 $g(x) = y$ 的所有根（第二个等号用了 (A14.14)）。第一个等式的含义很直观：把 $X$ 的每个可能值"送到" $g(x)$ 处，再把落在 $y$ 处的概率加起来。

例：一个速度分量的动能。$v_x\sim N(0,k_{\mathrm B}T/m)$，$\varepsilon = \frac12mv_x^2$。每个 $\varepsilon>0$ 对应两个根 $v_x = \pm\sqrt{2\varepsilon/m}$，$\lvert d\varepsilon/dv_x\rvert = m\lvert v_x\rvert = \sqrt{2m\varepsilon}$。由 (C7.2)：

在 $\varepsilon\to0$ 处发散（但可积），平均值为 $\frac12k_{\mathrm B}T$——一个平方项的均分值。

§C7.3多维变换

$n$ 个变量的变换 $\mathbf y = \mathbf g(\mathbf x)$（一一对应）：

这就是重积分的换元公式 (A6.3)：$p_Y\,d^ny = p_X\,d^nx$。

例 1：动量与速度（§5.4）。$\mathbf p = m\mathbf v$，$d^3p = m^3d^3v$，所以 $f_{\mathbf v}(\mathbf v) = m^3f_{\mathbf p}(m\mathbf v)$，得到 (5.10)。

例 2：速率分布。换到球坐标 $(v,\theta,\varphi)$，雅可比因子 $v^2\sin\theta$（(A6.4)），再对角度求边缘分布（附录 C3）：$F(v) = \int f(\mathbf v)\,v^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi = 4\pi v^2f(v)$，即 (5.11)。

例 3：动能分布。再从速率换到动能 $\varepsilon = \frac12mv^2$，$d\varepsilon = mv\,dv$：

（代入 (5.11) 并整理。）它的形式是"态密度 $\propto\sqrt\varepsilon$ 乘以玻尔兹曼因子"，与 (12.5) 的 $\varepsilon^{1/2}$ 态密度一致；平均值为 $\frac32k_{\mathrm B}T$。

例 4：能量的分布（§4.4）。正则系综中能量为 $E$ 的概率密度 $P(E) = \Omega(E)e^{-\beta E}/Z$：从"微观态"变到"能量"这个变量时，雅可比因子就是态密度 $\Omega(E)$——数微观态，就是在做变量变换。

§C7.4最可几值依赖于所用的变量

概率密度的极大值不是变换下的不变量。

• 麦克斯韦分布：速率的最可几值是 $v_{\mathrm p} = \sqrt{2k_{\mathrm B}T/m}$，对应动能 $\frac12mv_{\mathrm p}^2 = k_{\mathrm B}T$；而 (C7.4) 的极大值在 $\varepsilon = \frac12k_{\mathrm B}T$（由 $\frac{d}{d\varepsilon}[\sqrt\varepsilon e^{-\varepsilon/k_{\mathrm B}T}] = 0$）。两者相差一倍，没有矛盾：多出来的因子 $1/v$ 改变了曲线的形状。
• 普朗克谱（§15.2）：$u(\omega)\propto\frac{\omega^3}{e^{\beta\hbar\omega} - 1}$。换成波长，$\omega = 2\pi c/\lambda$，$\lvert d\omega/d\lambda\rvert = 2\pi c/\lambda^2\propto\omega^2$，所以 $u_\lambda\propto\frac{\omega^5}{e^{\beta\hbar\omega} - 1}$。令 $x = \beta\hbar\omega$，两者的极大条件分别为 $3(1 - e^{-x}) = x$ 与 $5(1 - e^{-x}) = x$，解为 $x = 2.821$ 与 $4.965$：$\lambda_{\max}$ 对应的光子能量是 $\omega_{\max}$ 的约 1.76 倍。

不随变量改变的是什么：概率本身（某个事件的概率）；任何物理量的平均值 $\langle h\rangle$（无论用哪个变量计算，由换元公式结果相同）；中位数（单调变换下，分位数一一对应）。所以"最可几值"只在指明了变量时才有意义，而平均值与概率没有这个问题。

§C7.5逆变换抽样

计算机产生的随机数通常是 $[0,1]$ 上均匀分布的 $U$。要得到分布为 $F$ 的随机变量，只需令

证明：$P(X\le x) = P(U\le F(x)) = F(x)$。

例：

1. 指数分布（速率 $\lambda$ 的等待时间）：$F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$，$X = -\ln(1 - U)/\lambda$（等价地 $-\ln U/\lambda$）。动力学蒙特卡罗中随机选取下一个事件发生的时刻就是这样做的。
2. 球面上均匀的方向：$\cos\theta$ 在 $[-1,1]$ 上均匀（§A6.3），取 $\cos\theta = 1 - 2U_1$，$\varphi = 2\pi U_2$。
3. 高斯随机数（博克斯–穆勒方法）：两个独立的 $N(0,1)$ 变量 $(X,Y)$ 的联合密度 $\frac{1}{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}dx\,dy$ 在极坐标中为 $\frac{1}{2\pi}d\theta\cdot e^{-r^2/2}r\,dr$：角度均匀，$s = r^2/2$ 服从指数分布 $e^{-s}ds$。所以取 $\theta = 2\pi U_2$，$r = \sqrt{-2\ln U_1}$，$X = r\cos\theta$、$Y = r\sin\theta$ 就是两个独立的标准高斯变量。

自测题

1. $X$ 在 $[0,1]$ 上均匀分布，求 $Y = -\ln X/\lambda$ 的概率密度。［答：$\lambda e^{-\lambda y}$（$y\ge0$）。］
2. 二维理想气体中，速度的两个分量独立且都服从 $N(0,k_{\mathrm B}T/m)$。求速率分布。［答：$p(v) = \frac{mv}{k_{\mathrm B}T}e^{-mv^2/2k_{\mathrm B}T}$（瑞利分布）。］
3. 由 (C7.4) 验证 $\langle\varepsilon\rangle = \frac32k_{\mathrm B}T$。［提示：(2.8)，$\Gamma(5/2)/\Gamma(3/2) = 3/2$。］
4. 推导普朗克谱以波长为变量时极大值满足的方程 $5(1 - e^{-x}) = x$。
5. 证明：用 $p_Y$ 计算的 $\langle Y\rangle$ 等于用 $p_X$ 计算的 $\langle g(X)\rangle$（一维单调情形）。［提示：在 $\int y\,p_Y(y)\,dy$ 中换元 $y = g(x)$，并用 (C7.1)。］