泰勒展开（一元与多元）

泰勒展开是全书最常用的数学工具。正文中的典型用法有：稳定性条件（§1.5、§1.8，展开到二阶）；正则分布与巨正则分布的推导（§4.1、§8.1，把热源的熵展开到一阶）；拉普拉斯方法与斯特林公式（§2.3）；小振动（§P1.3、§6.5，把势能展开到二阶）；有效质量（§11.6）；索末菲展开（§13.2）；临界点附近的范德瓦尔斯方程（§17.6）；分子动力学的韦尔莱算法（§32.6）。

§A3.1一元泰勒公式

系数从哪里来。 假设 $f$ 在 $x_0$ 附近可以写成幂级数 $f(x_0+\Delta) = a_0 + a_1\Delta + a_2\Delta^2 + \cdots$。在 $\Delta = 0$ 处求 $n$ 阶导数，$n$ 次以下的项被求导消灭，$n$ 次以上的项在 $\Delta=0$ 处为零，只剩 $n!\,a_n$。所以 $a_n = f^{(n)}(x_0)/n!$：

余项。 不假设幂级数存在，也可以严格推出 (A3.1) 并得到误差 $R_N$ 的表达式。从微积分基本定理出发：$f(x_0+\Delta) = f(x_0) + \int_0^\Delta f'(x_0+s)\,ds$。对积分分部积分，取 $d(s-\Delta)$ 作为"$dv$"：

继续这样做 $N$ 次，得到积分形式的余项

第二个等号（拉格朗日形式，$\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x_0+\Delta$ 之间）来自积分中值定理：$(\Delta-s)^N$ 不变号。要点是：只要 $f^{(N+1)}$ 有界，截断在 $N$ 阶的误差就是 $\Delta^{N+1}$ 量级，记作 $O(\Delta^{N+1})$。$\Delta$ 越小，近似越好；在级数收敛的范围内，保留的阶数越高，近似越好。

物理中"小量"的含义。 展开总是对一个无量纲的小参数进行的：$\Delta/x_0$、$k_{\mathrm B}T/\mu$、$\hbar\omega/k_{\mathrm B}T$、$(T-T_c)/T_c$……。说"$x$ 很小"之前，先要问"和什么相比"。

§A3.2常用的展开式

下表各式都可以由 (A3.1) 逐项求导得到（括号内为级数收敛的范围）：

几点说明：

1. $(1+x)^\alpha$ 是二项式级数，$\alpha$ 可以是任意实数。常用特例：$\alpha = -1$ 给出 $1/(1+x) = 1 - x + x^2 - \cdots$（几何级数）；$\alpha = 1/2$ 给出 $\sqrt{1+x} = 1 + \frac x2 - \frac{x^2}{8} + \cdots$（§P1.7、§P3.3）；$\alpha = -1/2$ 给出 $1/\sqrt{1+x} = 1 - \frac x2 + \frac{3x^2}{8} - \cdots$。
2. 最后一式中 $1/(e^x-1)$ 在 $x = 0$ 处发散，先把 $1/x$ 提出来，再展开 $x/(e^x-1) = 1 - \frac x2 + \frac{x^2}{12} - \cdots$。其系数（伯努利数）的求法见附录 A10。它给出谐振子、光子、声子在高温下的展开（§6.4、§15.1、§15.5）。
3. $\tanh x\approx x - x^3/3$ 是平均场理论的核心（§18.4）：自洽方程 $m = \tanh(m/t)$（$t = T/T_c$）在 $m$ 很小时变成 $m\approx m/t - m^3/(3t^3)$，除以 $m$ 后得 $m^2 = 3t^2(1-t)$，即 $m\approx\sqrt{3(1-t)}$。

组合展开。复合函数的展开可以逐层代入，只保留需要的阶数。例：

（$u^2/2 = x^4/8 + O(x^6)$；$u^3$ 已是 $x^6$ 量级。）

§A3.3保留到哪一阶：一个重要的教训

展开到哪一阶，取决于最低阶的非零效应在哪一阶。§P3.3 中两个耦合振子的频率为 $\omega_\pm = \omega_0\sqrt{1\pm\epsilon}$，零点能之和为 $\frac\hbar2(\omega_++\omega_-)$。若只展开到一阶，$\sqrt{1\pm\epsilon}\approx1\pm\epsilon/2$，两项的修正恰好抵消，会错误地得出"耦合不改变能量"。展开到二阶：

能量降低与 $\epsilon^2$ 成正比——这就是伦敦色散力的来源。同样地，§1.5 中两个子系统交换能量时一阶项相互抵消，稳定性由二阶项决定；§17.6 中临界点处一阶、二阶项都消失，物态方程的形状由三阶项决定。当某一阶的贡献由于对称性而抵消时，必须展开到下一阶。

泰勒级数抓不住的东西。 函数 $e^{-1/x}$（$x>0$）在 $x\to0^+$ 时各阶导数都趋于零，所以它在 $x = 0$ 处的"泰勒级数"恒为零，却不是零函数。物理中，$e^{-\Delta/k_{\mathrm B}T}$ 型的量（有能隙的系统在低温下的热容，如爱因斯坦模型 §6.5；索末菲展开中略去的 $e^{-\mu/k_{\mathrm B}T}$ 项，§13.2）就属于这一类：它们在任何有限阶的 $T$ 展开中都不出现。

§A3.4多元泰勒展开

设 $f(\mathbf x) = f(x_1,\dots,x_n)$，要在 $\mathbf x_0$ 附近展开。技巧是把它化为一元问题：令 $g(t) = f(\mathbf x_0 + t\boldsymbol\Delta)$，则 $f(\mathbf x_0+\boldsymbol\Delta) = g(1)$。由链式法则 (A1.3)，

（都在 $\mathbf x_0 + t\boldsymbol\Delta$ 处取值。）把 $g(1) = g(0) + g'(0) + \frac12g''(0) + \cdots$ 写出来：

一阶项是梯度与位移的内积 $\nabla f\cdot\boldsymbol\Delta$；二阶项中的矩阵 $H_{ij} = \partial_i\partial_jf$ 称为黑塞矩阵，由 (A2.4) 它是对称矩阵。二元时写开是

正文中的例子。

• §4.1：系统处于能量 $E_i$ 的态时，热源的熵为 $S_{\mathrm R}(E_{\mathrm{tot}} - E_i)\approx S_{\mathrm R}(E_{\mathrm{tot}}) - E_i/T$。二阶项 $\frac12S_{\mathrm R}''E_i^2$ 与一阶项之比约为 $E_i/(C_{\mathrm R}T)$，热源越大越小（$C_{\mathrm R}$ 是热源的热容），所以可以略去。
• §8.1：同时交换能量与粒子，对两个变量展开到一阶，$S_{\mathrm R}(E_{\mathrm{tot}}-E,\,N_{\mathrm{tot}}-N)\approx S_{\mathrm R} - E/T + \mu N/T$。
• §P1.3、§6.5：势能在平衡位置附近展开，一阶项因为是平衡点而为零，二阶项给出 $\frac12\sum K_{ij}u_iu_j$，$K$ 就是势能的黑塞矩阵，对角化后得到简正模（附录 B2）。

§A3.5驻点的分类

在驻点 $\nabla f(\mathbf x_0) = 0$ 处，(A3.4) 的一阶项消失，

因此：若二次型 $\boldsymbol\Delta^{\mathsf T}H\boldsymbol\Delta$ 对一切 $\boldsymbol\Delta\ne0$ 为正（$H$ 正定），$\mathbf x_0$ 是极小；若恒为负（负定），是极大；若有正有负，是鞍点。由附录 B2，把 $H$ 正交对角化后，二次型变为 $\sum_a\lambda_ay_a^2$，所以"正定"等价于"所有本征值为正"。

二元情形可以直接配方（设 $f_{xx}\ne0$）：

所以极小的条件是 $f_{xx}>0$ 且 $f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2>0$；极大的条件是 $f_{xx}<0$ 且 $f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2>0$；若 $f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2<0$ 则是鞍点。热力学稳定性条件正是这类条件：熵在平衡态取极大，要求 $S(U,V)$ 的黑塞矩阵负定。§1.5 由其中的 $\partial^2S/\partial U^2<0$ 得到 $C_V>0$；§1.8 由 $F$ 在 $V$ 方向上取极小（$\partial^2F/\partial V^2>0$）得到 $\kappa_T>0$。

§A3.6与拉普拉斯方法的关系

§2.3 的拉普拉斯方法 (2.13) 就是"在极大值处展开到二阶，再做高斯积分"。为什么可以忽略三阶及更高阶的项？令 $x - x_0 = y/\sqrt N$，指数 $Nf(x)$ 变为

被积函数只在 $y\sim1$ 的范围内不可忽略，而在这个范围内三阶、四阶项分别是 $N^{-1/2}$、$N^{-1}$ 量级。所以 $N\to\infty$ 时二阶近似越来越准确。（$y^3$ 项是奇函数，它在高斯积分中的一阶贡献为零；首个非零的修正来自 $y^4$ 项与 $y^3$ 项的平方，都是 $1/N$ 量级。）所以修正只影响 $\ln\int$ 的 $O(1/N)$ 项。

§A3.7有限差分

把 $f(x\pm h)$ 展开到四阶并相加、相减：

奇次项（或偶次项）成对抵消，所以中心差分的误差是 $h^2$ 量级。两个应用：

• 韦尔莱算法（§32.6）：$\mathbf r(t+\Delta t) + \mathbf r(t-\Delta t) = 2\mathbf r(t) + \mathbf a\,\Delta t^2 + O(\Delta t^4)$，速度项和三阶项都抵消了。
• 从晶格到连续介质（§10.4）：一维原子链的运动方程 (10.6) 含 $u_{n+1} + u_{n-1} - 2u_n$；当位移在许多个晶格常数 $a$ 上缓慢变化时，由 (A3.6) 它近似为 $a^2\,\partial^2u/\partial x^2$，运动方程变成波动方程 $M\ddot u = Ka^2\,\partial^2u/\partial x^2$（附录 A15），声速 $v_{\mathrm s} = a\sqrt{K/M}$，与 (10.7) 的长波极限一致。

自测题

1. 用 (A3.3) 证明：量子谐振子（含零点能）的平均能量 $\frac{\hbar\omega}{2}\coth\frac{\hbar\omega}{2k_{\mathrm B}T}$ 在高温下等于 $k_{\mathrm B}T + \frac{(\hbar\omega)^2}{12k_{\mathrm B}T} + \cdots$。［提示：$\frac{\hbar\omega}{2} + \frac{\hbar\omega}{e^x - 1}$，$x = \hbar\omega/k_{\mathrm B}T$。］
2. 判断 $f = x^2 + 3xy + y^2$ 在原点的驻点类型。［答：$f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 4 - 9<0$，鞍点。］
3. 证明 (A3.6) 中二阶差分的误差项是 $\frac{h^2}{12}f''''$。［提示：$f(x\pm h) = f\pm hf' + \frac{h^2}{2}f''\pm\frac{h^3}{6}f''' + \frac{h^4}{24}f'''' + \cdots$。］
4. 把 $1/(1 + \frac32\phi)$ 展开到 $\phi^3$。［答：$1 - \frac32\phi + \frac94\phi^2 - \frac{27}{8}\phi^3$；这正是 §17.6 中用到的展开。］
5. 狭义相对论的动能 $mc^2\big(1/\sqrt{1-v^2/c^2} - 1\big)$ 展开到 $v^4$。［答：$\frac12mv^2 + \frac38mv^4/c^2$。］