向量、内积与二次型

本节只作简要回顾。正文用到的地方：刚体转动中的叉积恒等式（§P1.5）、能量均分定理中的二次型（§5.5）、熵产生与昂萨格系数的半正定性（§P5.4）、晶格的原胞体积与倒格子（§10.1、§10.2）。

§B1.1向量与内积

$n$ 维实向量 $\mathbf a = (a_1,\dots,a_n)$。内积（点积）$\mathbf a\cdot\mathbf b = \sum_ia_ib_i = \mathbf a^{\mathsf T}\mathbf b$，长度 $\lvert\mathbf a\rvert = \sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a}$。二维、三维中 $\mathbf a\cdot\mathbf b = \lvert\mathbf a\rvert\lvert\mathbf b\rvert\cos\theta$；一般维数中，柯西–施瓦茨不等式 $\lvert\mathbf a\cdot\mathbf b\rvert\le\lvert\mathbf a\rvert\lvert\mathbf b\rvert$ 保证了"夹角"有定义。（证明：对一切实数 $t$，$\lvert\mathbf a + t\mathbf b\rvert^2 = \lvert\mathbf a\rvert^2 + 2t\,\mathbf a\cdot\mathbf b + t^2\lvert\mathbf b\rvert^2\ge0$，这个关于 $t$ 的二次式的判别式必须非正。）

内积为零称为正交。一组两两正交的单位向量 $\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n$ 构成正交归一基，$\mathbf e_i\cdot\mathbf e_j = \delta_{ij}$；任意向量的分量就是它在基向量上的投影：$\mathbf a = \sum_ia_i\mathbf e_i$，$a_i = \mathbf e_i\cdot\mathbf a$。

正交补（附录 A8 用到）：给定向量 $\mathbf g_1,\dots,\mathbf g_m$，与它们都正交的向量构成一个子空间 $W$；而与 $W$ 中所有向量都正交的向量，恰好是 $\mathbf g_1,\dots,\mathbf g_m$ 的线性组合。（理由：把任一向量分解为"在 $\mathbf g_k$ 张成的子空间中的分量"加"与之正交的分量"；后者属于 $W$，若它不为零，它就与自身不正交。）

§B1.2叉积与混合积（三维）

它垂直于 $\mathbf a$ 与 $\mathbf b$（按右手定则），长度 $\lvert\mathbf a\rvert\lvert\mathbf b\rvert\sin\theta$ 等于以 $\mathbf a$、$\mathbf b$ 为边的平行四边形面积；$\mathbf b\times\mathbf a = -\mathbf a\times\mathbf b$。混合积 $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)$ 等于以三个向量为棱的平行六面体的有向体积，也等于以它们为行的 $3\times3$ 行列式（附录 B3）。例如布拉维格子的原胞体积 $v_{\mathrm c} = \mathbf a_1\cdot(\mathbf a_2\times\mathbf a_3)$，倒格子基矢 $\mathbf b_1 = 2\pi\frac{\mathbf a_2\times\mathbf a_3}{v_{\mathrm c}}$ 等（§10.1、§10.2）。

两个常用恒等式：

（第一个俗称"BAC–CAB"规则，可以逐个分量验证，例如 $x$ 分量：$a_y(b_xc_y - b_yc_x) - a_z(b_zc_x - b_xc_z) = b_x(a_yc_y + a_zc_z) - c_x(a_yb_y + a_zb_z)$，在第一项中加上、第二项中减去 $a_xb_xc_x$，即得 $b_x(\mathbf a\cdot\mathbf c) - c_x(\mathbf a\cdot\mathbf b)$；第二个由 $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ 得到。）§P1.5 中刚体的动能 $\frac12\sum m\lvert\boldsymbol\omega\times\mathbf r\rvert^2$ 与角动量 $\sum m\,\mathbf r\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r)$ 正是用这两个恒等式化成转动惯量张量的。

§B1.3矩阵与二次型

$n\times n$ 矩阵 $A$ 作用于向量：$(A\mathbf x)_i = \sum_jA_{ij}x_j$。转置 $(A^{\mathsf T})_{ij} = A_{ji}$，$(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$。

二次型 $Q(\mathbf x) = \mathbf x^{\mathsf T}A\mathbf x = \sum_{i,j}A_{ij}x_ix_j$。由于 $x_ix_j = x_jx_i$，只有 $A$ 的对称部分 $\frac12(A + A^{\mathsf T})$ 起作用，所以总可以假定 $A$ 是对称矩阵。例：$x^2 + 4xy + 3y^2$ 对应 $A = \begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}$（交叉项系数平分到两个非对角元上）。

二次型的梯度：$\partial Q/\partial x_k = 2\sum_jA_{kj}x_j$，即 $\nabla Q = 2A\mathbf x$；由此 $\mathbf x\cdot\nabla Q = 2Q$，这正是二次齐次函数的欧拉定理（附录 A9），§5.5 由它得到能量均分。

正定性：若对一切 $\mathbf x\ne0$ 都有 $Q>0$，称 $A$ 为正定的；若 $Q\ge0$，称为半正定的。判断方法见附录 B2（所有本征值为正）。两个简单的必要条件：

1. 正定（半正定）矩阵的对角元 $A_{ii}>0$（$\ge0$）：取 $\mathbf x = \mathbf e_i$。
2. 半正定时，任意两个指标 $i,j$ 满足 $A_{ii}A_{jj}\ge A_{ij}^2$：只让 $x_i$、$x_j$ 不为零，$A_{ii}x_i^2 + 2A_{ij}x_ix_j + A_{jj}x_j^2\ge0$ 对一切 $x_i,x_j$ 成立，要求判别式 $A_{ij}^2 - A_{ii}A_{jj}\le0$。

物理中的正定（或半正定）二次型：动能 $\frac12\sum m_iv_i^2$；稳定平衡附近的势能 $\frac12\mathbf u^{\mathsf T}K\mathbf u$（§6.5）；熵产生 $\sigma_s = \sum_{ij}X_iL_{ij}X_j\ge0$（§P5.4）——由条件 1，热导率、扩散系数、电导率都不能为负；由条件 2，交叉效应（如热电效应）的系数受到 $L_{12}^2\le L_{11}L_{22}$ 的限制（这里 $L$ 指昂萨格系数矩阵的对称部分）。

自测题

1. 验证 $\mathbf a\times(\mathbf b\times\mathbf c)$ 的 $y$ 分量满足 (B1.2)。
2. 写出 $2x^2 - 2xy + 5y^2$ 对应的对称矩阵，并判断它是否正定。［答：$\begin{pmatrix}2&-1\\-1&5\end{pmatrix}$；$2>0$，$2\times5 - 1 = 9>0$，正定（判据见 §B2.4）。］
3. 设 $\mathbf a_1 = \frac a2(0,1,1)$，$\mathbf a_2 = \frac a2(1,0,1)$，$\mathbf a_3 = \frac a2(1,1,0)$（面心立方的原胞基矢）。求原胞体积。［答：$a^3/4$。］