§6.1 两能级系统与肖特基热容§6.2 顺磁性与居里定律§6.3 同样的数学，不同的物理：一维链的熵弹性§6.4 谐振子：经典与量子§6.5 固体热容：爱因斯坦模型自测题 本章目标
用 Z = q N Z = q^N Z = q N
§6.1 两能级系统与肖特基热容 每个粒子有两个非简并能级 0 0 0 ε \varepsilon ε
q = 1 + e − β ε (6.1) q = 1 + e^{-\beta\varepsilon} \tag{6.1} q = 1 + e − βε ( 6.1 ) 由 (5.6) ：
U = − N ∂ ln q ∂ β = N ε e − β ε 1 + e − β ε = N ε e β ε + 1 (6.2) U = -N\frac{\partial\ln q}{\partial\beta} = \frac{N\varepsilon e^{-\beta\varepsilon}}{1+e^{-\beta\varepsilon}} = \frac{N\varepsilon}{e^{\beta\varepsilon}+1} \tag{6.2} U = − N ∂ β ∂ ln q = 1 + e − βε Nε e − βε = e βε + 1 Nε ( 6.2 ) 与微正则结果 (3.12) 相同——系综等价的一个具体例子。热容：
C = d U d T = N k B ( ε k B T ) 2 e ε / k B T ( e ε / k B T + 1 ) 2 (6.3) C = \frac{dU}{dT} = Nk_{\mathrm B}\left(\frac{\varepsilon}{k_{\mathrm B}T}\right)^2\frac{e^{\varepsilon/k_{\mathrm B}T}}{\left(e^{\varepsilon/k_{\mathrm B}T}+1\right)^2} \tag{6.3} C = d T d U = N k B ( k B T ε ) 2 ( e ε / k B T + 1 ) 2 e ε / k B T ( 6.3 ) （求导：d d T ( e β ε + 1 ) − 1 = − ( e β ε + 1 ) − 2 e β ε ε d β d T \frac{d}{dT}(e^{\beta\varepsilon}+1)^{-1} = -(e^{\beta\varepsilon}+1)^{-2}e^{\beta\varepsilon}\varepsilon\,\frac{d\beta}{dT} d T d ( e βε + 1 ) − 1 = − ( e βε + 1 ) − 2 e βε ε d T d β d β / d T = − 1 / ( k B T 2 ) d\beta/dT = -1/(k_{\mathrm B}T^2) d β / d T = − 1/ ( k B T 2 )
低温 k B T ≪ ε k_{\mathrm B}T\ll\varepsilon k B T ≪ ε C ≈ N k B ( ε / k B T ) 2 e − ε / k B T → 0 C\approx Nk_{\mathrm B}(\varepsilon/k_{\mathrm B}T)^2e^{-\varepsilon/k_{\mathrm B}T}\to0 C ≈ N k B ( ε / k B T ) 2 e − ε / k B T → 0 ε \varepsilon ε
高温 k B T ≫ ε k_{\mathrm B}T\gg\varepsilon k B T ≫ ε e x / ( e x + 1 ) 2 → 1 4 e^x/(e^x+1)^2\to\frac14 e x / ( e x + 1 ) 2 → 4 1 C ≈ 1 4 N k B ( ε / k B T ) 2 → 0 C\approx\frac14Nk_{\mathrm B}(\varepsilon/k_{\mathrm B}T)^2\to0 C ≈ 4 1 N k B ( ε / k B T ) 2 → 0
中间有一个峰（肖特基反常 ）：令 x = ε / k B T x = \varepsilon/k_{\mathrm B}T x = ε / k B T x 2 e x / ( e x + 1 ) 2 x^2e^x/(e^x+1)^2 x 2 e x / ( e x + 1 ) 2 0.44 0.44 0.44 x ≈ 2.4 x\approx2.4 x ≈ 2.4 k B T ≈ 0.42 ε k_{\mathrm B}T\approx0.42\,\varepsilon k B T ≈ 0.42 ε
具有少数低能级的系统（顺磁盐中的磁性离子、晶体中的杂质等）在低温热容测量中常出现这种峰，由峰的位置可以读出能级间隔 ε \varepsilon ε
熵（由 (5.6) ）：
S = N k B [ ln ( 1 + e − β ε ) + β ε e β ε + 1 ] (6.4) S = Nk_{\mathrm B}\left[\ln\left(1+e^{-\beta\varepsilon}\right) + \frac{\beta\varepsilon}{e^{\beta\varepsilon}+1}\right] \tag{6.4} S = N k B [ ln ( 1 + e − βε ) + e βε + 1 βε ] ( 6.4 ) T → 0 T\to0 T → 0 S → 0 S\to0 S → 0 T → ∞ T\to\infty T → ∞ S → N k B ln 2 S\to Nk_{\mathrm B}\ln2 S → N k B ln 2
C / N k B C/Nk_{\mathrm B} C / N k B n / N n/N n / N k B T / ε k_{\mathrm B}T/\varepsilon k B T / ε
C / N k B C/Nk_{\mathrm B} C / N k B —
S / N k B S/Nk_{\mathrm B} S / N k B —
图 6.1 两能级系统的热容与激发态占据比例。热容在 k B T ≈ 0.42 ε k_{\mathrm B}T\approx0.42\,\varepsilon k B T ≈ 0.42 ε 这张图需要打开浏览器的 JavaScript 才能显示。
§6.2 顺磁性与居里定律 自旋与磁矩
（详见 §P2.5 ） 自旋 1/2 的粒子的磁矩沿外磁场方向的投影只能取两个值 ± μ m \pm\mu_{\mathrm m} ± μ m μ \mu μ ∓ μ m B \mp\mu_{\mathrm m}B ∓ μ m B
令 x ≡ β μ m B x\equiv\beta\mu_{\mathrm m}B x ≡ β μ m B
q = e x + e − x = 2 cosh x (6.5) q = e^{x} + e^{-x} = 2\cosh x \tag{6.5} q = e x + e − x = 2 cosh x ( 6.5 ) 平均磁矩与磁化 。每个粒子沿 B B B
⟨ m z ⟩ = μ m e x − μ m e − x e x + e − x = μ m tanh x , M = N μ m tanh μ m B k B T (6.6) \langle m_z\rangle = \frac{\mu_{\mathrm m}e^x - \mu_{\mathrm m}e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \mu_{\mathrm m}\tanh x,\qquad M = N\mu_{\mathrm m}\tanh\frac{\mu_{\mathrm m}B}{k_{\mathrm B}T} \tag{6.6} ⟨ m z ⟩ = e x + e − x μ m e x − μ m e − x = μ m tanh x , M = N μ m tanh k B T μ m B ( 6.6 ) （也可写成 M = N k B T ∂ ln q / ∂ B M = Nk_{\mathrm B}T\,\partial\ln q/\partial B M = N k B T ∂ ln q / ∂ B
强场或低温（x ≫ 1 x\gg1 x ≫ 1 tanh x → 1 \tanh x\to1 tanh x → 1 M → N μ m M\to N\mu_{\mathrm m} M → N μ m
弱场或高温（x ≪ 1 x\ll1 x ≪ 1 tanh x ≈ x \tanh x\approx x tanh x ≈ x 提示 A10 ），
M ≈ N μ m 2 k B T B (6.7) M\approx\frac{N\mu_{\mathrm m}^2}{k_{\mathrm B}T}B \tag{6.7} M ≈ k B T N μ m 2 B ( 6.7 ) 磁化率反比于温度——居里定律 。物理图像：磁场试图使磁矩顺排（降低能量），热运动试图使取向随机（增大熵），竞争的结果只取决于比值 μ m B / k B T \mu_{\mathrm m}B/k_{\mathrm B}T μ m B / k B T
M / N μ m = tanh x M/N\mu_{\mathrm m} = \tanh x M / N μ m = tanh x S / N k B S/Nk_{\mathrm B} S / N k B x = μ m B / k B T x = \mu_{\mathrm m}B/k_{\mathrm B}T x = μ m B / k B T
M / N μ m M/N\mu_{\mathrm m} M / N μ m —
S / N k B S/Nk_{\mathrm B} S / N k B —
居里定律的高估 \text{居里定律的高估} 居里定律的高估 —
图 6.2 自旋 1/2 顺磁体。弱场或高温时磁化与 B / T B/T B / T B / T B/T B / T ln 2 \ln2 ln 2 B / T B/T B / T 这张图需要打开浏览器的 JavaScript 才能显示。
极化度有多小？核自旋的例子 。定义极化度 P = ( N ↑ − N ↓ ) / N = tanh x P = (N_\uparrow - N_\downarrow)/N = \tanh x P = ( N ↑ − N ↓ ) / N = tanh x Δ E = 2 μ m B = h ν 0 \Delta E = 2\mu_{\mathrm m}B = h\nu_0 Δ E = 2 μ m B = h ν 0 ν 0 \nu_0 ν 0 P ≈ h ν 0 / ( 2 k B T ) P\approx h\nu_0/(2k_{\mathrm B}T) P ≈ h ν 0 / ( 2 k B T ) B ≈ 9.4 B\approx9.4 B ≈ 9.4 ν 0 ≈ 400 \nu_0\approx400 ν 0 ≈ 400
P ≈ h ν 0 2 k B T = 6.63 × 1 0 − 34 × 4.0 × 1 0 8 2 × 1.38 × 1 0 − 23 × 300 ≈ 3.2 × 1 0 − 5 (6.8) P\approx\frac{h\nu_0}{2k_{\mathrm B}T} = \frac{6.63\times10^{-34}\times4.0\times10^{8}}{2\times1.38\times10^{-23}\times300}\approx3.2\times10^{-5} \tag{6.8} P ≈ 2 k B T h ν 0 = 2 × 1.38 × 1 0 − 23 × 300 6.63 × 1 0 − 34 × 4.0 × 1 0 8 ≈ 3.2 × 1 0 − 5 ( 6.8 ) 即每十万个质子中只有约三个"净"顺排——这是高温极限 x ≪ 1 x\ll1 x ≪ 1 2 × 1 0 − 2 2\times10^{-2} 2 × 1 0 − 2
熵与绝热去磁 。由 (6.5) 、(6.6) 得 U = − N μ m B tanh x = − M B U = -N\mu_{\mathrm m}B\tanh x = -MB U = − N μ m B tanh x = − MB (5.6) ：
S = N k B [ ln ( 2 cosh x ) − x tanh x ] , x = μ m B k B T (6.9) S = Nk_{\mathrm B}\left[\ln(2\cosh x) - x\tanh x\right],\qquad x = \frac{\mu_{\mathrm m}B}{k_{\mathrm B}T} \tag{6.9} S = N k B [ ln ( 2 cosh x ) − x tanh x ] , x = k B T μ m B ( 6.9 ) 熵只依赖于 B / T B/T B / T S S S B / T B/T B / T T f = T i B f / B i T_{\mathrm f} = T_{\mathrm i}B_{\mathrm f}/B_{\mathrm i} T f = T i B f / B i 绝热去磁制冷 的原理（实际可达的最低温度受本模型忽略的磁矩间相互作用限制）。此系统的热容与 (6.3) 形式相同（取 ε = 2 μ m B \varepsilon = 2\mu_{\mathrm m}B ε = 2 μ m B
§6.3 同样的数学，不同的物理：一维链的熵弹性 考虑一条由 N N N a a a + x +x + x − x -x − x s i = ± 1 s_i = \pm1 s i = ± 1 L = a ∑ i s i L = a\sum_is_i L = a ∑ i s i + x +x + x f f f − f a s i -fas_i − f a s i §6.2 的数学完全相同（把 μ m B \mu_{\mathrm m}B μ m B f a fa f a
⟨ L ⟩ = N a tanh f a k B T (6.10) \langle L\rangle = Na\tanh\frac{fa}{k_{\mathrm B}T} \tag{6.10} ⟨ L ⟩ = N a tanh k B T f a ( 6.10 ) 小拉力时 tanh y ≈ y \tanh y\approx y tanh y ≈ y
f ≈ k B T N a 2 ⟨ L ⟩ (6.11) f\approx\frac{k_{\mathrm B}T}{Na^2}\,\langle L\rangle \tag{6.11} f ≈ N a 2 k B T ⟨ L ⟩ ( 6.11 ) 链像一根胡克弹簧，但"弹簧常数" k B T / ( N a 2 ) k_{\mathrm B}T/(Na^2) k B T / ( N a 2 ) 正比于温度 。由于链节朝向改变不涉及任何能量，这个回复力完全来自熵：伸长的链对应的构象数少，熵低。
从熵直接计算 。不加拉力时所有 2 N 2^N 2 N L L L N + = 1 2 ( N + L / a ) N_+ = \frac12(N + L/a) N + = 2 1 ( N + L / a ) + x +x + x ( N N + ) \binom N{N_+} ( N + N ) S ( L ) = k B ln ( N N + ) S(L) = k_{\mathrm B}\ln\binom N{N_+} S ( L ) = k B ln ( N + N ) L L L F ( L ) = U − T S ( L ) F(L) = U - TS(L) F ( L ) = U − TS ( L ) L L L (2.12) ，d N + / d L = 1 / ( 2 a ) dN_+/dL = 1/(2a) d N + / d L = 1/ ( 2 a )
f = ( ∂ F ∂ L ) T = − T ∂ S ∂ L = − k B T 2 a ln N − N + N + = k B T 2 a ln 1 + L / ( N a ) 1 − L / ( N a ) f = \left(\frac{\partial F}{\partial L}\right)_T = -T\frac{\partial S}{\partial L} = -\frac{k_{\mathrm B}T}{2a}\ln\frac{N-N_+}{N_+} = \frac{k_{\mathrm B}T}{2a}\ln\frac{1 + L/(Na)}{1 - L/(Na)} f = ( ∂ L ∂ F ) T = − T ∂ L ∂ S = − 2 a k B T ln N + N − N + = 2 a k B T ln 1 − L / ( N a ) 1 + L / ( N a ) 由 1 2 ln 1 + y 1 − y = artanh y \frac12\ln\frac{1+y}{1-y} = \operatorname{artanh}y 2 1 ln 1 − y 1 + y = artanh y L = N a tanh ( f a / k B T ) L = Na\tanh(fa/k_{\mathrm B}T) L = N a tanh ( f a / k B T ) (6.10) 一致。这是熵弹性 的最简模型；三维版本（链节可指向任意方向）给出朗之万函数（见自测题），是理解橡胶弹性的出发点。
§6.4 谐振子：经典与量子 经典谐振子 。H = p 2 / 2 m + m ω 2 x 2 / 2 \mathcal H = p^2/2m + m\omega^2x^2/2 H = p 2 /2 m + m ω 2 x 2 /2 (4.4) 的单自由度版本与 (2.3) ：
q 经典 = 1 h ∫ e − β p 2 / 2 m d p ∫ e − β m ω 2 x 2 / 2 d x = 1 h 2 π m β 2 π β m ω 2 = k B T ℏ ω (6.12) q_{\text{经典}} = \frac1h\int e^{-\beta p^2/2m}dp\int e^{-\beta m\omega^2x^2/2}dx = \frac1h\sqrt{\frac{2\pi m}{\beta}}\sqrt{\frac{2\pi}{\beta m\omega^2}} = \frac{k_{\mathrm B}T}{\hbar\omega} \tag{6.12} q 经典 = h 1 ∫ e − β p 2 /2 m d p ∫ e − β m ω 2 x 2 /2 d x = h 1 β 2 πm β m ω 2 2 π = ℏ ω k B T ( 6.12 ) U = − ∂ ln q / ∂ β = k B T U = -\partial\ln q/\partial\beta = k_{\mathrm B}T U = − ∂ ln q / ∂ β = k B T
量子谐振子 。
谐振子能级
（详见 §P2.3 ） 一维谐振子的能级为 ε n = ( n + 1 2 ) ℏ ω \varepsilon_n = (n+\frac12)\hbar\omega ε n = ( n + 2 1 ) ℏ ω n = 0 , 1 , 2 , … n = 0,1,2,\dots n = 0 , 1 , 2 , … §P2.3 。）
q = ∑ n = 0 ∞ e − β ( n + 1 2 ) ℏ ω = e − β ℏ ω / 2 ∑ n = 0 ∞ ( e − β ℏ ω ) n = e − β ℏ ω / 2 1 − e − β ℏ ω (6.13) q = \sum_{n=0}^\infty e^{-\beta(n+\frac12)\hbar\omega} = e^{-\beta\hbar\omega/2}\sum_{n=0}^\infty\left(e^{-\beta\hbar\omega}\right)^n = \frac{e^{-\beta\hbar\omega/2}}{1-e^{-\beta\hbar\omega}} \tag{6.13} q = n = 0 ∑ ∞ e − β ( n + 2 1 ) ℏ ω = e − β ℏ ω /2 n = 0 ∑ ∞ ( e − β ℏ ω ) n = 1 − e − β ℏ ω e − β ℏ ω /2 ( 6.13 ) 几何级数
当 ∣ r ∣ < 1 \lvert r\rvert<1 ∣ r ∣ < 1 ∑ n = 0 ∞ r n = 1 / ( 1 − r ) \sum_{n=0}^\infty r^n = 1/(1-r) ∑ n = 0 ∞ r n = 1/ ( 1 − r ) S M = 1 + r + ⋯ + r M S_M = 1 + r + \cdots + r^M S M = 1 + r + ⋯ + r M S M − r S M = 1 − r M + 1 S_M - rS_M = 1 - r^{M+1} S M − r S M = 1 − r M + 1 M → ∞ M\to\infty M → ∞ §A10.2 。）
平均能量：由 ln q = − β ℏ ω 2 − ln ( 1 − e − β ℏ ω ) \ln q = -\frac{\beta\hbar\omega}{2} - \ln\left(1 - e^{-\beta\hbar\omega}\right) ln q = − 2 β ℏ ω − ln ( 1 − e − β ℏ ω )
ε ˉ = − ∂ ln q ∂ β = ℏ ω 2 + ℏ ω e − β ℏ ω 1 − e − β ℏ ω = ℏ ω [ 1 2 + 1 e β ℏ ω − 1 ] (6.14) \bar\varepsilon = -\frac{\partial\ln q}{\partial\beta} = \frac{\hbar\omega}{2} + \frac{\hbar\omega\,e^{-\beta\hbar\omega}}{1 - e^{-\beta\hbar\omega}} = \hbar\omega\left[\frac12 + \frac{1}{e^{\beta\hbar\omega} - 1}\right] \tag{6.14} ε ˉ = − ∂ β ∂ ln q = 2 ℏ ω + 1 − e − β ℏ ω ℏ ω e − β ℏ ω = ℏ ω [ 2 1 + e β ℏ ω − 1 1 ] ( 6.14 ) 与 ε ˉ = ( ⟨ n ⟩ + 1 2 ) ℏ ω \bar\varepsilon = (\langle n\rangle + \frac12)\hbar\omega ε ˉ = (⟨ n ⟩ + 2 1 ) ℏ ω
⟨ n ⟩ = 1 e β ℏ ω − 1 (6.15) \langle n\rangle = \frac{1}{e^{\beta\hbar\omega} - 1} \tag{6.15} ⟨ n ⟩ = e β ℏ ω − 1 1 ( 6.15 ) 这个形式（普朗克分布）将在光子气体与声子气体（第15章 ）中再次出现。
两个极限 ：
高温 k B T ≫ ℏ ω k_{\mathrm B}T\gg\hbar\omega k B T ≫ ℏ ω y = β ℏ ω ≪ 1 y = \beta\hbar\omega\ll1 y = β ℏ ω ≪ 1 1 e y − 1 ≈ 1 y − 1 2 + y 12 \frac{1}{e^y-1}\approx\frac1y - \frac12 + \frac{y}{12} e y − 1 1 ≈ y 1 − 2 1 + 12 y 提示 A10 ），代入 (6.14) 得 ε ˉ ≈ k B T + ( ℏ ω ) 2 12 k B T \bar\varepsilon\approx k_{\mathrm B}T + \frac{(\hbar\omega)^2}{12k_{\mathrm B}T} ε ˉ ≈ k B T + 12 k B T ( ℏ ω ) 2 ℏ ω / 2 \hbar\omega/2 ℏ ω /2 − ℏ ω / 2 -\hbar\omega/2 − ℏ ω /2 (6.13) 也趋于 k B T / ( ℏ ω ) k_{\mathrm B}T/(\hbar\omega) k B T / ( ℏ ω ) (6.12) ——这证实了"每个量子态占相空间面积 h h h
低温 k B T ≪ ℏ ω k_{\mathrm B}T\ll\hbar\omega k B T ≪ ℏ ω ⟨ n ⟩ ≈ e − ℏ ω / k B T → 0 \langle n\rangle\approx e^{-\hbar\omega/k_{\mathrm B}T}\to0 ⟨ n ⟩ ≈ e − ℏ ω / k B T → 0
§6.5 固体热容：爱因斯坦模型 从原子振动到独立谐振子 。晶体中 N N N i i i u i u_i u i i = 1 , … , 3 N i = 1,\dots,3N i = 1 , … , 3 N 提示 A3 ）：
H = ∑ i = 1 3 N p i 2 2 m + 1 2 ∑ i , j K i j u i u j , K i j = ∂ 2 U 势 ∂ u i ∂ u j ∣ 0 (6.16) \mathcal H = \sum_{i=1}^{3N}\frac{p_i^2}{2m} + \frac12\sum_{i,j}K_{ij}u_iu_j,\qquad K_{ij} = \left.\frac{\partial^2U_{\text{势}}}{\partial u_i\partial u_j}\right|_0 \tag{6.16} H = i = 1 ∑ 3 N 2 m p i 2 + 2 1 i , j ∑ K ij u i u j , K ij = ∂ u i ∂ u j ∂ 2 U 势 0 ( 6.16 ) K K K
二次型与正交对角化
实对称矩阵 K K K O O O O T O = I O^{\mathsf T}O = I O T O = I O T K O = d i a g ( κ 1 , … , κ n ) O^{\mathsf T}KO = \mathrm{diag}(\kappa_1,\dots,\kappa_n) O T K O = diag ( κ 1 , … , κ n ) u = O Q u = OQ u = OQ 1 2 u T K u \frac12u^{\mathsf T}Ku 2 1 u T K u 1 2 ∑ α κ α Q α 2 \frac12\sum_\alpha\kappa_\alpha Q_\alpha^2 2 1 ∑ α κ α Q α 2 ∑ i u i 2 = ∑ α Q α 2 \sum_iu_i^2 = \sum_\alpha Q_\alpha^2 ∑ i u i 2 = ∑ α Q α 2 ± 1 \pm1 ± 1 附录 B1 –B3 ，特别是 §B2.3 –§B2.4 。）
令 u = O Q u = OQ u = OQ p = O P p = OP p = OP 1 2 ∑ α κ α Q α 2 \frac12\sum_\alpha\kappa_\alpha Q_\alpha^2 2 1 ∑ α κ α Q α 2 ∑ i p i 2 / 2 m = ∑ α P α 2 / 2 m \sum_ip_i^2/2m = \sum_\alpha P_\alpha^2/2m ∑ i p i 2 /2 m = ∑ α P α 2 /2 m H = ∑ α ( P α 2 2 m + 1 2 m ω α 2 Q α 2 ) \mathcal H = \sum_\alpha\left(\frac{P_\alpha^2}{2m} + \frac12m\omega_\alpha^2Q_\alpha^2\right) H = ∑ α ( 2 m P α 2 + 2 1 m ω α 2 Q α 2 ) ω α 2 = κ α / m \omega_\alpha^2 = \kappa_\alpha/m ω α 2 = κ α / m [ Q α , P γ ] = ∑ i , j O i α O j γ [ u i , p j ] = i ℏ ∑ i O i α O i γ = i ℏ δ α γ [Q_\alpha,P_\gamma] = \sum_{i,j}O_{i\alpha}O_{j\gamma}[u_i,p_j] = i\hbar\sum_iO_{i\alpha}O_{i\gamma} = i\hbar\,\delta_{\alpha\gamma} [ Q α , P γ ] = ∑ i , j O i α O jγ [ u i , p j ] = i ℏ ∑ i O i α O iγ = i ℏ δ α γ 3 N 3N 3 N 独立 的谐振子（"简正模"；严格说其中有 6 个对应整体平动和转动的零频率模，相对于 3 N 3N 3 N
爱因斯坦模型 ：假设所有 ω α \omega_\alpha ω α ω E \omega_{\mathrm E} ω E (4.18) ，Z = q 3 N Z = q^{3N} Z = q 3 N q q q (6.13) ；由 (6.14) ，U = 3 N ℏ ω E [ 1 2 + ( e ℏ ω E / k B T − 1 ) − 1 ] U = 3N\hbar\omega_{\mathrm E}\left[\frac12 + \left(e^{\hbar\omega_{\mathrm E}/k_{\mathrm B}T}-1\right)^{-1}\right] U = 3 N ℏ ω E [ 2 1 + ( e ℏ ω E / k B T − 1 ) − 1 ] Θ E = ℏ ω E / k B \Theta_{\mathrm E} = \hbar\omega_{\mathrm E}/k_{\mathrm B} Θ E = ℏ ω E / k B T T T (6.3) 的求导类似）：
C V = 3 N k B ( Θ E T ) 2 e Θ E / T ( e Θ E / T − 1 ) 2 (6.17) C_V = 3Nk_{\mathrm B}\left(\frac{\Theta_{\mathrm E}}{T}\right)^2\frac{e^{\Theta_{\mathrm E}/T}}{\left(e^{\Theta_{\mathrm E}/T}-1\right)^2} \tag{6.17} C V = 3 N k B ( T Θ E ) 2 ( e Θ E / T − 1 ) 2 e Θ E / T ( 6.17 )
高温 T ≫ Θ E T\gg\Theta_{\mathrm E} T ≫ Θ E y = Θ E / T → 0 y = \Theta_{\mathrm E}/T\to0 y = Θ E / T → 0 y 2 e y ( e y − 1 ) 2 = ( y / 2 sinh ( y / 2 ) ) 2 ≈ 1 − y 2 12 \frac{y^2e^y}{(e^y-1)^2} = \left(\frac{y/2}{\sinh(y/2)}\right)^2\approx1 - \frac{y^2}{12} ( e y − 1 ) 2 y 2 e y = ( s i n h ( y /2 ) y /2 ) 2 ≈ 1 − 12 y 2 C V → 3 N k B C_V\to3Nk_{\mathrm B} C V → 3 N k B
低温 T ≪ Θ E T\ll\Theta_{\mathrm E} T ≪ Θ E C V ≈ 3 N k B ( Θ E / T ) 2 e − Θ E / T → 0 C_V\approx3Nk_{\mathrm B}(\Theta_{\mathrm E}/T)^2e^{-\Theta_{\mathrm E}/T}\to0 C V ≈ 3 N k B ( Θ E / T ) 2 e − Θ E / T → 0 (1.26) 。
数值例子：金刚石 。取 Θ E ≈ 1320 \Theta_{\mathrm E}\approx1320 Θ E ≈ 1320 T = 298 T = 298 T = 298 y ≈ 4.43 y\approx4.43 y ≈ 4.43 y 2 e y / ( e y − 1 ) 2 ≈ 0.24 y^2e^y/(e^y-1)^2\approx0.24 y 2 e y / ( e y − 1 ) 2 ≈ 0.24 C V ≈ 0.24 × 3 R ≈ 6.0 C_V\approx0.24\times3R\approx6.0 C V ≈ 0.24 × 3 R ≈ 6.0
模型的不足 ：实验上，低温下绝缘体的热容按 T 3 T^3 T 3 (6.17) 的指数衰减慢得多。原因是真实晶体的简正模频率有一个分布，低频（长波）声学模在任意低的温度下都能被激发。德拜模型（第15章 ）考虑了这一点。
( Θ E / T ) 2 e − Θ E / T (\Theta_{\mathrm E}/T)^2e^{-\Theta_{\mathrm E}/T} ( Θ E / T ) 2 e − Θ E / T C V / 3 N k B C_V/3Nk_{\mathrm B} C V /3 N k B T / Θ E T/\Theta_{\mathrm E} T / Θ E
C V / 3 N k B C_V/3Nk_{\mathrm B} C V /3 N k B —
ε ˉ / ℏ ω E \bar\varepsilon/\hbar\omega_{\mathrm E} ε ˉ /ℏ ω E —
图 6.3 爱因斯坦模型的热容。高温趋于杜隆–珀蒂定律的 3 N k B 3Nk_{\mathrm B} 3 N k B T ≲ Θ E T\lesssim\Theta_{\mathrm E} T ≲ Θ E ⟨ n ⟩ \langle n\rangle ⟨ n ⟩ ε ˉ \bar\varepsilon ε ˉ 这张图需要打开浏览器的 JavaScript 才能显示。
自测题
自旋 J J J ：磁矩沿场方向的分量为 m J g μ B m_Jg\mu_{\mathrm B} m J g μ B m J = − J , … , J m_J = -J,\dots,J m J = − J , … , J μ B \mu_{\mathrm B} μ B q q q g J μ B B J ( y ) gJ\mu_{\mathrm B}B_J(y) g J μ B B J ( y ) B J ( y ) = 2 J + 1 2 J coth ( 2 J + 1 ) y 2 J − 1 2 J coth y 2 J B_J(y) = \frac{2J+1}{2J}\coth\frac{(2J+1)y}{2J} - \frac{1}{2J}\coth\frac{y}{2J} B J ( y ) = 2 J 2 J + 1 coth 2 J ( 2 J + 1 ) y − 2 J 1 coth 2 J y y = β g J μ B B y = \beta gJ\mu_{\mathrm B}B y = β g J μ B B J = 1 / 2 J = 1/2 J = 1/2 (6.6) 。三能级系统（0 0 0 ε \varepsilon ε 2 ε 2\varepsilon 2 ε C ( T ) C(T) C ( T )
三维自由连接链 ：链节可以指向任意方向，在拉力 f f f − f a cos θ -fa\cos\theta − f a cos θ ⟨ L ⟩ = N a [ coth y − 1 / y ] \langle L\rangle = Na\left[\coth y - 1/y\right] ⟨ L ⟩ = N a [ coth y − 1/ y ] y = f a / k B T y = fa/k_{\mathrm B}T y = f a / k B T ［答：3 k B T / ( N a 2 ) 3k_{\mathrm B}T/(Na^2) 3 k B T / ( N a 2 ) 这一篇已记为读完。标为未读