§11.1 经典自由电子模型及其困难§11.2 自由电子的量子态与费米能§11.3 布洛赫定理§11.4 近自由电子近似与能隙的来源§11.5 金属、绝缘体与半导体§11.6 有效质量与空穴§11.7 本章小结自测题 本章目标
(1) 了解经典自由电子模型（德鲁德模型）的成功与困难；(2) 在零温下用泡利原理把电子填进自由电子的 k k k 第13章 的出发点；(3) 由晶格的平移对称性导出布洛赫定理，理解能带与能隙的来源；(4) 由能带的填充区分金属、绝缘体与半导体；(5) 引入有效质量与空穴的概念。本章同样不涉及温度效应，统计留给第13章 。
§11.1 经典自由电子模型及其困难 金属中原子的价电子脱离各自的原子，可以在整块金属中运动（"传导电子"），留下带正电的离子实。德鲁德（1900）把传导电子看成经典的理想气体。
物理输入
弛豫时间近似
电子不时与"某种东西"碰撞，碰撞使它的动量随机化；单位时间内发生碰撞的概率为 1 / τ 1/\tau 1/ τ
电导率 。在电场 E \mathbf E E − e -e − e v \mathbf v v m d v / d t = − e E − m v / τ m\,d\mathbf v/dt = -e\mathbf E - m\mathbf v/\tau m d v / d t = − e E − m v / τ d t dt d t d t / τ dt/\tau d t / τ v = − e τ E / m \mathbf v = -e\tau\mathbf E/m v = − e τ E / m j = − n e v \mathbf j = -ne\mathbf v j = − n e v j = σ E \mathbf j = \sigma\mathbf E j = σ E
σ = n e 2 τ m (11.1) \sigma = \frac{ne^2\tau}{m} \tag{11.1} σ = m n e 2 τ ( 11.1 ) 例：铜的传导电子密度 n ≈ 8.5 × 1 0 28 m − 3 n\approx8.5\times10^{28}\ \mathrm{m^{-3}} n ≈ 8.5 × 1 0 28 m − 3 1.7 × 1 0 − 8 Ω m 1.7\times10^{-8}\ \Omega\,\mathrm m 1.7 × 1 0 − 8 Ω m (11.1) 得 τ ≈ 2.5 × 1 0 − 14 \tau\approx2.5\times10^{-14} τ ≈ 2.5 × 1 0 − 14
维德曼–弗兰兹比值 。金属既导电又导热，实验发现热导率与电导率之比正比于温度，且对许多金属近似相同。用 (P5.3) 估计电子气的热导率，取平均自由程 ℓ = v ˉ τ \ell = \bar v\tau ℓ = v ˉ τ v ˉ 2 ≈ ⟨ v 2 ⟩ \bar v^2\approx\langle v^2\rangle v ˉ 2 ≈ ⟨ v 2 ⟩ κ ≈ 1 3 n c v ⟨ v 2 ⟩ τ \kappa\approx\frac13nc_v\langle v^2\rangle\tau κ ≈ 3 1 n c v ⟨ v 2 ⟩ τ c v = 3 2 k B c_v = \frac32k_{\mathrm B} c v = 2 3 k B ⟨ v 2 ⟩ = 3 k B T / m \langle v^2\rangle = 3k_{\mathrm B}T/m ⟨ v 2 ⟩ = 3 k B T / m κ = 3 2 n k B 2 T τ / m \kappa = \frac32nk_{\mathrm B}^2T\tau/m κ = 2 3 n k B 2 T τ / m (11.1) 相除，τ \tau τ n n n m m m
κ σ T = 3 2 ( k B e ) 2 ≈ 1.1 × 1 0 − 8 W Ω K − 2 (11.2) \frac{\kappa}{\sigma T} = \frac32\left(\frac{k_{\mathrm B}}{e}\right)^2\approx1.1\times10^{-8}\ \mathrm{W\,\Omega\,K^{-2}} \tag{11.2} σ T κ = 2 3 ( e k B ) 2 ≈ 1.1 × 1 0 − 8 W Ω K − 2 ( 11.2 ) "比值是普适常数"这一结论正确，但数值约为实验值（约 2.2 × 1 0 − 8 2.2\times10^{-8} 2.2 × 1 0 − 8
困难 ：
热容 ：每个传导电子应贡献 3 2 k B \frac32k_{\mathrm B} 2 3 k B §9.10 ）。平均自由程 ：由 τ \tau τ 3 k B T / m ≈ 1 0 5 \sqrt{3k_{\mathrm B}T/m}\approx10^5 3 k B T / m ≈ 1 0 5 ℓ \ell ℓ 符号 ：某些金属的霍尔效应表明载流子带正电。绝缘体 ：为什么有些固体中的电子完全不能导电？
困难 1 由费米统计解决（§11.2 先作定性说明，第13章 定量计算）；困难 2–4 由能带理论解决（§11.3 –§11.6 ）。
§11.2 自由电子的量子态与费米能 把传导电子看成在体积 V V V (P2.4) ，周期性边界条件下的单电子态为平面波 ψ k = e i k ⋅ r / V \psi_{\mathbf k} = e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}/\sqrt V ψ k = e i k ⋅ r / V ε = ℏ 2 k 2 / 2 m \varepsilon = \hbar^2k^2/2m ε = ℏ 2 k 2 /2 m k \mathbf k k k k k ( 2 π ) 3 / V (2\pi)^3/V ( 2 π ) 3 / V §P2.5 ）。
零温基态 。电子是费米子，每个单电子态最多容纳一个电子（§P2.6 ）。N N N k k k k F k_{\mathrm F} k F 费米球 ）。由 2 × V ( 2 π ) 3 ⋅ 4 3 π k F 3 = N 2\times\frac{V}{(2\pi)^3}\cdot\frac43\pi k_{\mathrm F}^3 = N 2 × ( 2 π ) 3 V ⋅ 3 4 π k F 3 = N
k F = ( 3 π 2 n ) 1 / 3 , ε F = ℏ 2 k F 2 2 m , v F = ℏ k F m , T F = ε F k B (11.3) k_{\mathrm F} = (3\pi^2n)^{1/3},\qquad \varepsilon_{\mathrm F} = \frac{\hbar^2k_{\mathrm F}^2}{2m},\qquad v_{\mathrm F} = \frac{\hbar k_{\mathrm F}}{m},\qquad T_{\mathrm F} = \frac{\varepsilon_{\mathrm F}}{k_{\mathrm B}} \tag{11.3} k F = ( 3 π 2 n ) 1/3 , ε F = 2 m ℏ 2 k F 2 , v F = m ℏ k F , T F = k B ε F ( 11.3 ) ε F \varepsilon_{\mathrm F} ε F 费米能 ，是最高被占据态的能量。例：铜 n = 8.5 × 1 0 28 m − 3 n = 8.5\times10^{28}\ \mathrm{m^{-3}} n = 8.5 × 1 0 28 m − 3 k F = 1.36 × 1 0 10 m − 1 k_{\mathrm F} = 1.36\times10^{10}\ \mathrm m^{-1} k F = 1.36 × 1 0 10 m − 1 ε F ≈ 7.0 \varepsilon_{\mathrm F}\approx7.0 ε F ≈ 7.0 v F ≈ 1.6 × 1 0 6 v_{\mathrm F}\approx1.6\times10^6 v F ≈ 1.6 × 1 0 6 T F ≈ 8 × 1 0 4 T_{\mathrm F}\approx8\times10^4 T F ≈ 8 × 1 0 4
态密度 。把 (2.19) 乘以自旋简并度 2，并用 h = 2 π ℏ h = 2\pi\hbar h = 2 π ℏ N = ∫ 0 ε F g d ε = 2 3 g ( ε F ) ε F N = \int_0^{\varepsilon_{\mathrm F}}g\,d\varepsilon = \frac23g(\varepsilon_{\mathrm F})\varepsilon_{\mathrm F} N = ∫ 0 ε F g d ε = 3 2 g ( ε F ) ε F
g ( ε ) = V 2 π 2 ( 2 m ℏ 2 ) 3 / 2 ε 1 / 2 = 3 N 2 ε F ( ε ε F ) 1 / 2 (11.4) g(\varepsilon) = \frac{V}{2\pi^2}\left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2}\varepsilon^{1/2} = \frac{3N}{2\varepsilon_{\mathrm F}}\left(\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{\mathrm F}}\right)^{1/2} \tag{11.4} g ( ε ) = 2 π 2 V ( ℏ 2 2 m ) 3/2 ε 1/2 = 2 ε F 3 N ( ε F ε ) 1/2 ( 11.4 ) 定性的结论 ：
电子在零温下也在高速运动 。即使 T = 0 T = 0 T = 0 1 0 6 10^6 1 0 6 v F v_{\mathrm F} v F 热容很小 。室温下 T ≪ T F T\ll T_{\mathrm F} T ≪ T F k B T k_{\mathrm B}T k B T T / T F T/T_{\mathrm F} T / T F 第13章 将用费米–狄拉克分布定量计算（并得到正确的维德曼–弗兰兹比值 π 2 3 ( k B / e ) 2 ≈ 2.44 × 1 0 − 8 W Ω K − 2 \frac{\pi^2}{3}(k_{\mathrm B}/e)^2\approx2.44\times10^{-8}\ \mathrm{W\,\Omega\,K^{-2}} 3 π 2 ( k B / e ) 2 ≈ 2.44 × 1 0 − 8 W Ω K − 2
§11.3 布洛赫定理 物理输入
单电子近似
每个电子在一个周期性的有效势 U ( r ) U(\mathbf r) U ( r ) U ( r + R ) = U ( r ) U(\mathbf r + \mathbf R) = U(\mathbf r) U ( r + R ) = U ( r ) R \mathbf R R U U U
推导 。定义平移算符 T ^ R ψ ( r ) = ψ ( r + R ) \hat T_{\mathbf R}\psi(\mathbf r) = \psi(\mathbf r + \mathbf R) T ^ R ψ ( r ) = ψ ( r + R ) T ^ R \hat T_{\mathbf R} T ^ R T ^ R \hat T_{\mathbf R} T ^ R §10.3 的周期性边界条件，T ^ a 1 N 1 = 1 \hat T_{\mathbf a_1}^{N_1} = 1 T ^ a 1 N 1 = 1 T ^ a 1 \hat T_{\mathbf a_1} T ^ a 1 λ 1 \lambda_1 λ 1 λ 1 N 1 = 1 \lambda_1^{N_1} = 1 λ 1 N 1 = 1 λ 1 = e 2 π i m 1 / N 1 \lambda_1 = e^{2\pi im_1/N_1} λ 1 = e 2 πi m 1 / N 1 m 1 m_1 m 1 k = ∑ i ( m i / N i ) b i \mathbf k = \sum_i(m_i/N_i)\mathbf b_i k = ∑ i ( m i / N i ) b i (10.5) 的允许值相同），由 a i ⋅ b j = 2 π δ i j \mathbf a_i\cdot\mathbf b_j = 2\pi\delta_{ij} a i ⋅ b j = 2 π δ ij λ i = e i k ⋅ a i \lambda_i = e^{i\mathbf k\cdot\mathbf a_i} λ i = e i k ⋅ a i R = ∑ i n i a i \mathbf R = \sum_in_i\mathbf a_i R = ∑ i n i a i T ^ a i \hat T_{\mathbf a_i} T ^ a i ∏ i λ i n i = e i k ⋅ R \prod_i\lambda_i^{n_i} = e^{i\mathbf k\cdot\mathbf R} ∏ i λ i n i = e i k ⋅ R 布洛赫定理 ：
ψ k ( r + R ) = e i k ⋅ R ψ k ( r ) , 等价地 ψ k ( r ) = e i k ⋅ r u k ( r ) , u k ( r + R ) = u k ( r ) (11.5) \psi_{\mathbf k}(\mathbf r + \mathbf R) = e^{i\mathbf k\cdot\mathbf R}\,\psi_{\mathbf k}(\mathbf r),\qquad\text{等价地}\qquad \psi_{\mathbf k}(\mathbf r) = e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}u_{\mathbf k}(\mathbf r),\ \ u_{\mathbf k}(\mathbf r + \mathbf R) = u_{\mathbf k}(\mathbf r) \tag{11.5} ψ k ( r + R ) = e i k ⋅ R ψ k ( r ) , 等价地 ψ k ( r ) = e i k ⋅ r u k ( r ) , u k ( r + R ) = u k ( r ) ( 11.5 ) （等价性：令 u = e − i k ⋅ r ψ u = e^{-i\mathbf k\cdot\mathbf r}\psi u = e − i k ⋅ r ψ u ( r + R ) = e − i k ⋅ ( r + R ) e i k ⋅ R ψ ( r ) = u ( r ) u(\mathbf r + \mathbf R) = e^{-i\mathbf k\cdot(\mathbf r+\mathbf R)}e^{i\mathbf k\cdot\mathbf R}\psi(\mathbf r) = u(\mathbf r) u ( r + R ) = e − i k ⋅ ( r + R ) e i k ⋅ R ψ ( r ) = u ( r )
推论 ：
晶体动量 。ℏ k \hbar\mathbf k ℏ k (10.3) ，k \mathbf k k k + G \mathbf k + \mathbf G k + G k \mathbf k k 能带 。对每个 k \mathbf k k (11.5) 代入薛定谔方程，得到 u k u_{\mathbf k} u k ε n ( k ) \varepsilon_n(\mathbf k) ε n ( k ) n = 1 , 2 , … n = 1,2,\dots n = 1 , 2 , … ε n ( k ) \varepsilon_n(\mathbf k) ε n ( k ) k \mathbf k k 能带 ；能带之间可能有不存在任何电子态的能量区间——能隙 。由于 k \mathbf k k k + G \mathbf k + \mathbf G k + G ε n ( k + G ) = ε n ( k ) \varepsilon_n(\mathbf k + \mathbf G) = \varepsilon_n(\mathbf k) ε n ( k + G ) = ε n ( k ) k k k 每条能带的容量 。由 §10.3 ，第一布里渊区中有 N N N k \mathbf k k 2 N 2N 2 N N N N 完美晶格不散射电子 。布洛赫态是定态：在严格周期的势中，电子可以无限期地保持在同一个 k \mathbf k k
群速度 。电子的运动用由相近的 k \mathbf k k 提示 A13 ）：e i ( k 1 x − ω 1 t ) + e i ( k 2 x − ω 2 t ) = 2 cos ( Δ k x − Δ ω t 2 ) e i ( k ˉ x − ω ˉ t ) e^{i(k_1x-\omega_1t)} + e^{i(k_2x-\omega_2t)} = 2\cos\left(\frac{\Delta k\,x - \Delta\omega\,t}{2}\right)e^{i(\bar kx - \bar\omega t)} e i ( k 1 x − ω 1 t ) + e i ( k 2 x − ω 2 t ) = 2 cos ( 2 Δ k x − Δ ω t ) e i ( k ˉ x − ω ˉ t ) Δ k = k 1 − k 2 \Delta k = k_1 - k_2 Δ k = k 1 − k 2 Δ ω / Δ k \Delta\omega/\Delta k Δ ω /Δ k u k u_{\mathbf k} u k ε = ℏ ω \varepsilon = \hbar\omega ε = ℏ ω
v n ( k ) = 1 ℏ ∇ k ε n ( k ) (11.6) \mathbf v_n(\mathbf k) = \frac1\hbar\nabla_{\mathbf k}\varepsilon_n(\mathbf k) \tag{11.6} v n ( k ) = ℏ 1 ∇ k ε n ( k ) ( 11.6 ) 对自由电子 v = ℏ k / m \mathbf v = \hbar\mathbf k/m v = ℏ k / m
物理输入
半经典运动方程
在缓慢变化的外力 F \mathbf F F − e E -e\mathbf E − e E
ℏ d k d t = F (11.7) \hbar\frac{d\mathbf k}{dt} = \mathbf F \tag{11.7} ℏ d t d k = F ( 11.7 ) §11.4 近自由电子近似与能隙的来源 为看清能隙如何产生，考虑一维中很弱的周期势，把它展开成傅里叶级数（提示 A14 ）：U ( x ) = ∑ G U G e i G x U(x) = \sum_GU_Ge^{iGx} U ( x ) = ∑ G U G e i G x G = 2 π m / a G = 2\pi m/a G = 2 πm / a U 0 = 0 U_0 = 0 U 0 = 0 U − G = U G U_{-G} = U_G U − G = U G e i k x e^{ikx} e ik x ε ( 0 ) ( k ) = ℏ 2 k 2 / 2 m \varepsilon^{(0)}(k) = \hbar^2k^2/2m ε ( 0 ) ( k ) = ℏ 2 k 2 /2 m U G U_G U G e i k x e^{ikx} e ik x e i ( k − G ) x e^{i(k-G)x} e i ( k − G ) x ⟨ k − G ∣ U ∣ k ⟩ = U G \langle k - G\vert U\vert k\rangle = U_G ⟨ k − G ∣ U ∣ k ⟩ = U G
若 ε ( 0 ) ( k ) \varepsilon^{(0)}(k) ε ( 0 ) ( k ) ε ( 0 ) ( k − G ) \varepsilon^{(0)}(k-G) ε ( 0 ) ( k − G ) (P2.14) ，修正是二阶小量，能量几乎不变。
若两者相等，即 ∣ k ∣ = ∣ k − G ∣ \lvert k\rvert = \lvert k - G\rvert ∣ k ∣ = ∣ k − G ∣ k = G / 2 k = G/2 k = G /2 G = 2 π / a G = 2\pi/a G = 2 π / a k = π / a k = \pi/a k = π / a
两态模型 。在 k = π / a + q k = \pi/a + q k = π / a + q q q q ∣ k ⟩ \lvert k\rangle ∣ k ⟩ ∣ k − G ⟩ \lvert k - G\rangle ∣ k − G ⟩ ε 1 = ε ( 0 ) ( k ) \varepsilon_1 = \varepsilon^{(0)}(k) ε 1 = ε ( 0 ) ( k ) ε 2 = ε ( 0 ) ( k − G ) \varepsilon_2 = \varepsilon^{(0)}(k - G) ε 2 = ε ( 0 ) ( k − G ) 2 × 2 2\times2 2 × 2 ( ε 1 U G U G ε 2 ) \begin{pmatrix}\varepsilon_1 & U_G\\ U_G & \varepsilon_2\end{pmatrix} ( ε 1 U G U G ε 2 ) det ( H − ε ) = 0 \det(H - \varepsilon) = 0 det ( H − ε ) = 0 提示 B2 ），( ε 1 − ε ) ( ε 2 − ε ) − U G 2 = 0 (\varepsilon_1 - \varepsilon)(\varepsilon_2 - \varepsilon) - U_G^2 = 0 ( ε 1 − ε ) ( ε 2 − ε ) − U G 2 = 0
ε ± = ε 1 + ε 2 2 ± ( ε 1 − ε 2 2 ) 2 + U G 2 (11.8) \varepsilon_\pm = \frac{\varepsilon_1 + \varepsilon_2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\varepsilon_1 - \varepsilon_2}{2}\right)^2 + U_G^2} \tag{11.8} ε ± = 2 ε 1 + ε 2 ± ( 2 ε 1 − ε 2 ) 2 + U G 2 ( 11.8 ) 在布里渊区边界 ε 1 = ε 2 = E 0 ≡ ε ( 0 ) ( π / a ) \varepsilon_1 = \varepsilon_2 = E_0\equiv\varepsilon^{(0)}(\pi/a) ε 1 = ε 2 = E 0 ≡ ε ( 0 ) ( π / a ) E 0 ± ∣ U G ∣ E_0\pm\lvert U_G\rvert E 0 ± ∣ U G ∣
E g = 2 ∣ U G ∣ (11.9) E_{\mathrm g} = 2\lvert U_G\rvert \tag{11.9} E g = 2 ∣ U G ∣ ( 11.9 ) 的能隙：E 0 − ∣ U G ∣ E_0 - \lvert U_G\rvert E 0 − ∣ U G ∣ E 0 + ∣ U G ∣ E_0 + \lvert U_G\rvert E 0 + ∣ U G ∣
物理图像 。在 k = π / a k = \pi/a k = π / a e i π x / a e^{i\pi x/a} e iπ x / a e − i π x / a e^{-i\pi x/a} e − iπ x / a cos ( π x / a ) \cos(\pi x/a) cos ( π x / a ) sin ( π x / a ) \sin(\pi x/a) sin ( π x / a ) 2 a 2a 2 a
能带图像 。把自由电子的抛物线"折叠"进第一布里渊区，在区边界及每次两条抛物线相交处打开能隙，就得到一条条能带。每条能带都包含第一布里渊区中全部 N N N k k k
§11.5 金属、绝缘体与半导体 满带不导电 。由 (11.6) ，一条能带中所有电子的总速度正比于 ∑ k ∇ k ε n ( k ) \sum_{\mathbf k}\nabla_{\mathbf k}\varepsilon_n(\mathbf k) ∑ k ∇ k ε n ( k ) k k k ∫ − π / a π / a d ε d k d k = ε ( π / a ) − ε ( − π / a ) = 0 \int_{-\pi/a}^{\pi/a}\frac{d\varepsilon}{dk}dk = \varepsilon(\pi/a) - \varepsilon(-\pi/a) = 0 ∫ − π / a π / a d k d ε d k = ε ( π / a ) − ε ( − π / a ) = 0 全满的能带总电流为零 ；加上电场后，由 (11.7) 所有电子的 k \mathbf k k
由价电子数判断 。设每个原胞贡献 Z Z Z Z N ZN ZN 2 N 2N 2 N Z / 2 Z/2 Z /2
Z Z Z Z = 1 Z = 1 Z = 1 金属 。Z Z Z 价带 ）与上面的空带（导带 ）之间有能隙——绝缘体 ；若在三维中两条能带在能量上互相重叠——仍是金属（例如镁、钙，Z = 2 Z = 2 Z = 2
半导体 是能隙较小的绝缘体：硅约 1.12 eV，锗约 0.66 eV，砷化镓约 1.42 eV（室温）；作为对照，金刚石约 5.5 eV。零温下价带全满、导带全空，不导电；温度升高时，少量电子被热激发到导带，同时在价带留下空位，二者都能导电。由于激发要越过能隙，载流子数大致按 e − E g / 2 k B T e^{-E_{\mathrm g}/2k_{\mathrm B}T} e − E g /2 k B T 第13章 推导），对温度极其敏感：硅在室温下 E g / k B T ≈ 43 E_{\mathrm g}/k_{\mathrm B}T\approx43 E g / k B T ≈ 43 掺杂 ：在硅中掺入少量五价的磷，多出的电子只被束缚约 45 meV，室温下几乎全部进入导带；掺入三价的硼则在价带中产生空位。半导体器件正是建立在控制这些载流子的基础上。
费米能的位置 。零温下最高被占据的能级称为费米能。金属的费米能位于某条能带内部；绝缘体和半导体的费米能（第13章 将看到，确切地说是化学势）位于能隙之中。
§11.6 有效质量与空穴 有效质量 。在能带的极小值 k 0 \mathbf k_0 k 0 ε ( k ) \varepsilon(\mathbf k) ε ( k ) 提示 A3 ；一阶项在极值点为零），各向同性时
ε ( k ) ≈ ε ( k 0 ) + ℏ 2 ∣ k − k 0 ∣ 2 2 m ∗ , 1 m ∗ = 1 ℏ 2 d 2 ε d k 2 (11.10) \varepsilon(\mathbf k)\approx\varepsilon(\mathbf k_0) + \frac{\hbar^2\lvert\mathbf k - \mathbf k_0\rvert^2}{2m^\ast},\qquad \frac{1}{m^\ast} = \frac{1}{\hbar^2}\frac{d^2\varepsilon}{dk^2} \tag{11.10} ε ( k ) ≈ ε ( k 0 ) + 2 m ∗ ℏ 2 ∣ k − k 0 ∣ 2 , m ∗ 1 = ℏ 2 1 d k 2 d 2 ε ( 11.10 ) 由 (11.6) 与 (11.7) ，一维中 d v d t = 1 ℏ d 2 ε d k 2 d k d t = 1 ℏ 2 d 2 ε d k 2 F \frac{dv}{dt} = \frac1\hbar\frac{d^2\varepsilon}{dk^2}\frac{dk}{dt} = \frac{1}{\hbar^2}\frac{d^2\varepsilon}{dk^2}F d t d v = ℏ 1 d k 2 d 2 ε d t d k = ℏ 2 1 d k 2 d 2 ε F
m ∗ d v d t = F (11.11) m^\ast\frac{dv}{dt} = F \tag{11.11} m ∗ d t d v = F ( 11.11 ) 能带底附近的电子在外力作用下像一个质量为 m ∗ m^\ast m ∗ m ∗ m^\ast m ∗ m ∗ m^\ast m ∗ m e m_{\mathrm e} m e m ∗ ≈ 0.067 m e m^\ast\approx0.067\,m_{\mathrm e} m ∗ ≈ 0.067 m e 第13章 可以把半导体导带中的电子当作质量为 m ∗ m^\ast m ∗
两态模型中的有效质量 。在 (11.8) 中令 k = π / a + q k = \pi/a + q k = π / a + q k − G = q − π / a k - G = q - \pi/a k − G = q − π / a ε 1 + ε 2 2 = E 0 + ℏ 2 q 2 2 m \frac{\varepsilon_1 + \varepsilon_2}{2} = E_0 + \frac{\hbar^2q^2}{2m} 2 ε 1 + ε 2 = E 0 + 2 m ℏ 2 q 2 ε 1 − ε 2 2 = ℏ 2 π q m a \frac{\varepsilon_1 - \varepsilon_2}{2} = \frac{\hbar^2\pi q}{ma} 2 ε 1 − ε 2 = ma ℏ 2 π q q q q U 2 + x 2 ≈ ∣ U ∣ + x 2 / 2 ∣ U ∣ \sqrt{U^2 + x^2}\approx\lvert U\rvert + x^2/2\lvert U\rvert U 2 + x 2 ≈ ∣ U ∣ + x 2 /2 ∣ U ∣ ℏ 2 π 2 / ( m a 2 ) = 2 E 0 \hbar^2\pi^2/(ma^2) = 2E_0 ℏ 2 π 2 / ( m a 2 ) = 2 E 0
ε ± ≈ E 0 ± ∣ U G ∣ + ℏ 2 q 2 2 m ( 1 ± 2 E 0 ∣ U G ∣ ) , m ± ∗ = m 1 ± 2 E 0 / ∣ U G ∣ (11.12) \varepsilon_\pm\approx E_0\pm\lvert U_G\rvert + \frac{\hbar^2q^2}{2m}\left(1\pm\frac{2E_0}{\lvert U_G\rvert}\right),\qquad m^\ast_\pm = \frac{m}{1\pm2E_0/\lvert U_G\rvert} \tag{11.12} ε ± ≈ E 0 ± ∣ U G ∣ + 2 m ℏ 2 q 2 ( 1 ± ∣ U G ∣ 2 E 0 ) , m ± ∗ = 1 ± 2 E 0 / ∣ U G ∣ m ( 11.12 ) 能隙较小时（∣ U G ∣ ≪ E 0 \lvert U_G\rvert\ll E_0 ∣ U G ∣ ≪ E 0 m + ∗ ≈ m ∣ U G ∣ / 2 E 0 m_+^\ast\approx m\lvert U_G\rvert/2E_0 m + ∗ ≈ m ∣ U G ∣ /2 E 0 顶部 的有效质量为负 ，m − ∗ ≈ − m ∣ U G ∣ / 2 E 0 m_-^\ast\approx-m\lvert U_G\rvert/2E_0 m − ∗ ≈ − m ∣ U G ∣ /2 E 0
空穴 。考虑几乎全满、只缺少少数电子的能带（如半导体的价带顶）。由于满带的总电流为零，这条带的电流等于"满带电流"减去"空着的态上本来应有的电子电流"：j = 0 − ( − e ) ∑ 空态 v ( k ) = + e ∑ 空态 v ( k ) \mathbf j = 0 - (-e)\sum_{\text{空态}}\mathbf v(\mathbf k) = +e\sum_{\text{空态}}\mathbf v(\mathbf k) j = 0 − ( − e ) ∑ 空态 v ( k ) = + e ∑ 空态 v ( k ) 带正电 + e +e + e 的粒子以空态的速度运动。在电场中，空态的 k \mathbf k k (11.7) 以 ℏ k ˙ = − e E \hbar\dot{\mathbf k} = -e\mathbf E ℏ k ˙ = − e E m ∗ < 0 m^\ast<0 m ∗ < 0 (11.11) ，v ˙ = − e E / m ∗ = + e E / ∣ m ∗ ∣ \dot{\mathbf v} = -e\mathbf E/m^\ast = +e\mathbf E/\lvert m^\ast\rvert v ˙ = − e E / m ∗ = + e E / ∣ m ∗ ∣ + e +e + e ∣ m ∗ ∣ > 0 \lvert m^\ast\rvert>0 ∣ m ∗ ∣ > 0 空穴 。空穴解释了某些金属与 p 型半导体中带正电的载流子（困难 3）。
§11.7 本章小结
经典的德鲁德模型给出了欧姆定律与维德曼–弗兰兹定律的形式，但热容、平均自由程、载流子符号、绝缘体的存在都无法解释。
零温下电子填满费米球：k F = ( 3 π 2 n ) 1 / 3 k_{\mathrm F} = (3\pi^2n)^{1/3} k F = ( 3 π 2 n ) 1/3 ε F \varepsilon_{\mathrm F} ε F T F ∼ 1 0 4 T_{\mathrm F}\sim10^4 T F ∼ 1 0 4 1 0 5 10^5 1 0 5
布洛赫定理：晶体中电子的定态为 e i k ⋅ r u k ( r ) e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}u_{\mathbf k}(\mathbf r) e i k ⋅ r u k ( r ) 2 N 2N 2 N
周期势在布里渊区边界打开能隙 2 ∣ U G ∣ 2\lvert U_G\rvert 2 ∣ U G ∣
能带极值附近的电子像质量为 m ∗ m^\ast m ∗
自测题
钠为 bcc 结构，a ≈ 0.429 a\approx0.429 a ≈ 0.429 n n n k F k_{\mathrm F} k F ε F \varepsilon_{\mathrm F} ε F ［答：n = 2 / a 3 ≈ 2.5 × 1 0 28 m − 3 n = 2/a^3\approx2.5\times10^{28}\ \mathrm{m^{-3}} n = 2/ a 3 ≈ 2.5 × 1 0 28 m − 3 k F ≈ 0.91 × 1 0 10 m − 1 k_{\mathrm F}\approx0.91\times10^{10}\ \mathrm{m^{-1}} k F ≈ 0.91 × 1 0 10 m − 1 ε F ≈ 3.2 \varepsilon_{\mathrm F}\approx3.2 ε F ≈ 3.2
证明自由电子气在零温下的平均能量为 3 5 ε F \frac35\varepsilon_{\mathrm F} 5 3 ε F ［提示：∫ 0 ε F ε g ( ε ) d ε / N \int_0^{\varepsilon_{\mathrm F}}\varepsilon g(\varepsilon)\,d\varepsilon/N ∫ 0 ε F ε g ( ε ) d ε / N (11.4) ］
由 (11.8) 证明：在布里渊区边界 q = 0 q = 0 q = 0
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